Исследование потери устойчивости стержня при динамическом нагружении сжимающей силой

Выполнил: Клак М.А.

Научный руководитель: Иванова Е.А.

Введение

В современных конструкциях и сооружениях большое применение имеют детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей силой оказывается иным, чем поведение коротких стержней при сжатии. При достижении силой некоторого критического значения прямолинейная форма стержня становится неустойчивой, и стержень начинает искривляться. Это явление называется потерей устойчивости.

Постановка задачи

Схема нагружения

Рассматривается первоначально прямолинейный безынерционный стержень с массой на верхнем конце. Решается задача о потери устойчивости этого стержня в случае действия на него динамической сжимающей силы.

Уравнения динамики стержня

[math]\underline{N}'(s, t) = 0[/math]

[math]\underline{M}'(s, t) + \underline{R}'(s, t)\times \underline{N}(s, t) = 0[/math]

Определяющее уравнение для момента

[math]\underline{M} = (C_3-C_1)(\underline{t}\cdot\underline{\underline{P}}^T\cdot\underline{\Phi})(\underline{\underline{P}}\cdot\underline{t}) + C_1\underline{\Phi}[/math]

Вектора деформации

Связь вектор деформации изгиба кручения с тензором поворота

[math]\underline{\underline{P}}'=\underline{\Phi} \times \underline{\underline{P}}[/math]

Вектор деформации растяжения сдвига

[math]\underline{\varepsilon} = \underline{R}'-\underline{\underline{P}}\cdot\underline{t}[/math]

Задача решается в классической теории стержней: [math]\underline{\varepsilon}=0[/math], следовательно: [math]\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}[/math]