Исследование коэффициента сдвига в зависимости от параметров сечения стержня

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 21:46, 20 июня 2017; Filimonovas (обсуждение | вклад) (Результаты)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Филимонов Александр
Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Иванова Елена Александровна

Введение[править]

Тонкостенные стержни — элементы конструкций и сооружений цилиндрической или призматической формы, у которых все три характерных измерения (толщина, наибольший размер поперечного сечения и длина) выражаются величинами различных порядков, т. е. первая значит, меньше второй, а вторая — меньше третьей [1]. Тонкостенные стержни находят широкое применение в строительных конструкциях (стальные и алюминиевые прокатные, составные и гнутые профили, железобетонные тонкостенные элементы, кессонные конструкции и т. п.), а также в машиностроении, самолетостроении и т. д. Различают тонкостенные стержни открытого профиля швеллер, двутавр и др. и закрытого профиля (напр., коробчатого). Тонкостенные стержни обычно рассматриваются при расчете как пространственные конструкции; специфика их работы связана с деформацией контура поперечного сечения. С точки зрения расчета тонкостенные стержни представляют собой оболочки. Методы расчета теории стержней основаны на предположении о недеформируемости контура поперечного сечения, которые и будут использоваться в данной работе. Стоит заметить, что модули жёсткости на растяжение, изгиб и кручение хорошо известны и приведены во всех справочниках [2]. Интерес представляет модуль жёсткости на поперечный сдвиг. Существует формула для коэффициента сдвига [math]A = kGS[/math]. Зависимость от [math]G[/math] и [math]S[/math] вопроса не вызывает, интерес представляет значение [math]k[/math] и его нахождение. Пользоваться будем моделью балки Тимошенко.

Цели данной работы[править]

Исследование коэффициентов сдвига прямолинейных тонкостенных стержней .

  • определение коэффициентов сдвига на основании численного эксперимента.
  • провести исследование влияния формы сечения стержня на коэффициент сдвига.

Метод определения упругих модулей[править]

В данной работе используется метод, основанный на решении статических задач. Этот метод основан на сравнении результатов решения трехмерных задач с результатами решения соответствующих задач теории стержней. Далее будем сравнивать кинематические характеристики. В результате решения трехмерной задачи получаем распределение перемещений по сечению стержня. Существуют различные подходы к определению соотношений между перемещениями трехмерного тела и перемещением и поворотом сечения стержня. Далее будет использоваться подход, согласно которому считается, что количество движения и кинетический момент стержня и трехмерного тела (прообраза) совпадают между собой. Проинтегрировав данное соотношение по времени, придем к следующим уравнениям: [math]\rho_{0} \mathbf{u} = \int_{S}^{}\rho\mathbf{u}^{(3)}dxdy, \qquad \rho_{0} \mathbf{\Theta}_{2}\cdot \boldsymbol{\psi} = \int_{S}^{}\rho \mathbf{a}\times \mathbf{u}^{(3)}dxdy,[/math] где [math]\rho[/math] - объемная плотность массы материала стержня, [math]\mathbf{u}^{(3)}[/math] - вектор смещений точек трехмерной среды, [math]\mathbf{a}[/math] - вектор положения точек поперечного сечения, [math]S[/math] - площадь поперечного сечения.

Постановка задачи для определения модуля жесткости на растяжение (тестовая задача)[править]

Рассматривается стержень длиной 𝑙. Один конец стержня жестко закреплен, то есть этот конец не может ни поворачиваться, ни перемещаться. На другой конец действует продольная сила [math]N=N_0 k[/math].

[math]A_{z}=\frac{N_{0}z}{u^{(3)}(z)}[/math] - модуль жесткости на растяжение (получившаяся формула, на основании необходимости совпадения количества движения и кинетического момента у модели и у трёхмерного тела.

[math]A_{z0} = ES[/math] - хорошо известная формула для модуля жесткости, где Е - модуль Юнга, S - площадь поперечного сечения. Сравним результаты вычислений модуля жесткости по известной формуле и по полученной. Для этого введем относительную погрешность измерений 𝛿:

[math]δ=\frac{A_{z} - A_{z_0}}{A_{z_0}}\cdot 100\%[/math]

Решение соответствующей задачи строилось в пакете Abaqus. Рассматривался стержень длиной 𝑙 = 1м. Поперечное сечение стержня — П – образный профиль (швеллер) площадью [math]𝑆 = 0,02858м^2[/math]. (Характерные размеры стрежня a(толщина) = 0.02м, b = 0.5м, c = 0.429.). Материал стержня — медь (модуль Юнга [math]E=1.14\cdot 10^{11}[/math] Па). Приложенная сила 𝑁 = 500кН. Вычисления проводились при количестве элементов 𝑛 = 14300. В результате решения было найдено [math]\mathbf{u}^{(3)}(x,y,z)\approx u^{3}(z)\mathbf{k}[/math]. С учетом того, что [math]ρ_0 = ρ𝑆[/math].

Построим график зависимости относительной погрешности величин [math]A_z[/math] и [math]A_{z0}[/math] от безразмерной координаты сечения стержня ξ = z/l для рассматриваемого случая:

Рис 1. Относительная погрешность величин [math]A_z[/math] и [math]A_{z0}[/math].

По этому графику видно, что чем дальше от заделки находится координата сечения, тем меньше погрешность между известной и полученной формулами.

Постановка задачи для определения коэффициента сдвига[править]

Рассматривается задача изгиба стержня длинной [math]l[/math] (см. Рис. 1). Один конец жестко закреплен, на втором конце действует поперечная сила [math]\mathbf{N}=N_{0}\mathbf{i}[/math].

Решение будем искать в виде: [math]\mathbf{u} = -u\mathbf{i}, \boldsymbol{\psi} = \psi \mathbf{j}[/math].

Рис 2. Постановка задачи для изгиба стержня

Имеем:[math]\psi_{1}=\frac{N_{0}}{C_{y}}z\left(l-\frac{z}{2}\right), \qquad u_{1}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(z^2l-\frac{z^3}{3}\right)[/math]


Здесь [math]u_{1}[/math] - перемещение стержня со свободным концом, [math]\psi_{1}[/math] - угол поворота сечения стержня со свободным концом, [math]A_x[/math] - модуль жесткости на поперечный сдвиг, [math]C_y[/math] - модуль жесткости на изгиб.

Решение содержит два неизвестных модуля упругости. Поэтому, чтобы получить формулу, где не будет изгибной жесткости, решается две задачи: изгиб стержня со свободным концом и с заделкой, как показано на Рис 2.

Угол поворота сечения и перемещение для стержня с двумя заделками: [math]\psi_{2}=\frac{N_{0}z}{2C_{y}}(z-l) \qquad u_{2}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(\frac{z^2l}{2}-\frac{z^3}{3}\right)[/math] где [math]u_{2}[/math] - перемещение стержня с заделкой с двух сторон, [math]\psi_{2}[/math] - угол закручивания стержня с заделкой с двух сторон.

Переходим к относительной координате сечения, делая замену [math]\xi =z/l[/math]. Получаем итоговую формулу для модуля жесткости на поперечный сдвиг: [math]A_{x}=\frac{3\xi lN_{0}}{2u_{2}(3-\xi)-u_{1}(3-2\xi)}[/math] Перейдем от найденного модуля жесткости на поперечный сдвиг к коэффициенту сдвига: [math]k= \frac{A_{x}}{GS}[/math]

Здесь [math]G[/math] - модуль сдвига, [math]S[/math] - площадь поперечного сечения.

Результаты[править]

Несколько результатов экспериментов можно увидеть в таблице(Рис. 3).

Рис 3. Результаты

По приведенным значениям в таблице видно, что коэффициент сдвига принимает различные значения. Можно также заметить, что чем меньше с — ширина наших сечений и чем больше длина сторон (b), тем ближе коэффициент сдвига к 1. Также стоит отметить, что коэффициент сдвига не зависит от позиции сечения.

Также не стоит оставлять без внимания результат, полученный при нанесении всех результатов на график.

Рис 4. График зависимости [math]k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}[/math] от корня отношения моментов [math]J_x[/math] и [math]J_y[/math]

Было построено несколько зависимостей, но наиболее точно все эти точки аппроксимирует полином второй степени, изображенный на Рис. 5. Теперь приведем уравнение этой кривой к виду [math]k = k(J_x,J_y)[/math].

Рис 5. График зависимости [math]k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}[/math] от корня отношения моментов ( [math]J_x[/math] и [math]J_y[/math]) с аппроксимирующими кривыми (квадратичная и линейная) и соответствующими коэффициентами достоверности

Получилось выражение для коэффициента сдвига, который можно найти, зная только два момента инерции.

[math]k =0.0831\sqrt{\frac{J_y}{J_x}}+0.5556-0.0862\sqrt{\frac{J_x}{J_y}} [/math]

Выводы[править]

В работе решен ряд задач численным методом по трехмерной теории. Основываясь на сравнении напряженно-деформированного состояния стержней и трехмерных тел, были найдены корректирующие коэффициенты сдвига. К тому же, в случае на растяжение сделан вывод, что чем дальше по сечению от заделки находится координата сечения, тем меньше разница между известной и полученной формулами для модуля жесткости на растяжение. Также удалось систематизировать данные и сделать вывод о влиянии формы сечения на коэффициент сдвига при поперечном сдвиге. А именно: при увеличении длин сторон сечения и уменьшения его ширины, коэффициент сдвига будет значительно увеличиваться, стремясь к 1, коэффициент сдвига не зависит от положения сечения. Кроме того, полученные результаты были нанесены на график, после чего стало очевидно, что точки можно довольно точно аппроксимировать кривой. С помощью уравнения этой кривой можно получить коэффициент сдвига, используя 2 момента инерции.

Список литературы[править]

  • Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, 2 изд., М., 1959.
  • В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев. Курс сопротивления материалов с примера и задачами. Учебное пособие, 2012.
  • Тимошенко С. П, Устойчивость стержней, пластин и оболочек (избранные работы С. П. Тимошенко). — М.: Наука, 1971.
  • П. А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. Издательство Политехнического университета, 2007
  • В. К. Манжосов. Сопротивление материалов. Определение внутренних силовых факторов. - Учебное пособие. Ульяновск, УлГТУ.
  • Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: изд-во МГТУ им. Н. Э.

Баумана, 1999

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория

упругости: Учеб. пособие. — 4-е изд., испр. и доп. — М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.

  • Erasmo Carrera, Gaetano Giunta, Marco Petrolo. Beam Structures: Classical and Advanced Theories.
  • O. A. Bauchau, J. I. Craig. Euler-Bernoulli beam theory. Springer Netherlands, 2009.