Редактирование: Dzenushko Dainis. Course project for theoretical mechanics "Double pendulum"
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 75: | Строка 75: | ||
We notice that using this method we can get the motion equation also for big angles, it can be linearized assuming that angles <math>\varphi,\psi</math> are small and dropping terms of second order.<br> | We notice that using this method we can get the motion equation also for big angles, it can be linearized assuming that angles <math>\varphi,\psi</math> are small and dropping terms of second order.<br> | ||
− | == | + | == Применение метода решения для частного случая == |
− | + | Проверим описанный выше метод в частном случае при <math>\alpha = 0</math><br> | |
− | + | В таком случае задача сводится к двухмерной.<br> | |
− | ''' | + | '''Найдем тензоры поворота'''<br> |
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br><br> | <math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br><br> | ||
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}</math><br> | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}</math><br> | ||
Строка 84: | Строка 84: | ||
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br><br> | <math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем угловую скорость второго стержня'''<br> |
<math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br><br> | <math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем скорость центра масс'''<br> |
<math>\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2</math><br><br> | <math>\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br> |
<math>T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br><br> | <math>T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br> |
<math>\Pi_2 = m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br><br> | <math>\Pi_2 = m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем кинетическую и потенциальную энергии первого стержня'''<br> |
<math>T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2</math><br> | <math>T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2</math><br> | ||
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math><br><br> | <math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Получение уравнения движения для частного случая'''<br> |
− | + | Запишем выражения для полной кинетической и потенциальной энергий:<br> | |
<math>T = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br> | <math>T = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br> | ||
<math>\Pi = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right) + m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br> | <math>\Pi = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right) + m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br> | ||
− | + | Теперь продифференцируем энергии и произведем линеаризацию полученного результата предполагая что <math>\varphi , \psi</math> малые углы оставив только бесконечно малые первого порядка. В результате получим уравнение движения:<br> | |
<math> | <math> | ||
\begin{cases} | \begin{cases} |