Цилиндр и наклонная плоскость (48.29)
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
- "Задача - Мещерский (48.29)"
Условие
На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы m, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы AB катится без скольжения однородный круглый цилиндр массы m1. Определить ускорение призмы.
Решение задачи
Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:
, где
L = T - П - функция Лагранжа T - кинетическая энергия системы П - потенциальная энергия системы q - независимые обобщенные координаты Q - непотенциальная обобщённая сила
В данной задаче в качестве обобщенных координат примем изменяющиеся координату призмы и координату цилиндра по оси, направленной вдоль наклонной плоскости . Представим:
, где - кинетическая энергия катка массы , а - треугольной призмы массы .
Треугольная призма откатывается вдоль оси , следовательно:
Движение цилиндра массы плоское.
Где - абсолютная скорость центра масс цилиндра массой :
Здесь - относительная скорость
Получаем два равенства, соответствующие двум уравнениям Лагранжа:
Откуда получаем:
Реализация на JavaScript
Разработка
Текст программы на языке JavaScript (разработчик Вараев Владислав):
Файл "4829.html"
1 <!DOCTYPE html>
2
3 <html>
4
5 <head>
6 <title>4829</title>
7 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\three.js"></script>
8 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OBJLoader.js"></script>
9 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\MTLLoader.js"></script>
10 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OBJMTLLoader.js"></script>
11 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\jquery-1.9.0.js"></script>
12 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\stats.js"></script>
13 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\dat.gui.js"></script>
14 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\chroma.js"></script>
15 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\TrackballControls.js"></script>
16 <script type="text/javascript" src="http://tm.spbstu.ru/htmlets/VaraevV/mesherskiy\OrbitControls.js"></script>
17
18 </style>
19 </head>
20 <body>
21
22 <div id="Stats-output">
23 </div>
24
25 <div id="WebGL-output">
26 </div>
27
28
29 <script type="text/javascript">
30
31 $(function () {
32 var a = 0;
33 var g = 9.8;
34 var m = 20;
35 var m1 = 15;
36 var stats = initStats();
37
38 var scene = new THREE.Scene();
39
40 var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight, 0.1, 1000);
41
42 var renderer = new THREE.WebGLRenderer();
43
44 renderer.setClearColor(new THREE.Color(0x7722ff, 1.0));
45 renderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
46 renderer.shadowMapEnabled = true;
47 <!-- var spotLight = new THREE.SpotLight( 0x00ff00 ); -->
48 <!-- spotLight.position.set( -1000, 0, -10 ); -->
49 <!-- scene.add(spotLight ); -->
50 var ugol= 135;
51 var alpha0 = Math.cos(ugol*Math.PI/180);
52 var step = 0;
53 var plane = createMesh0(new THREE.PlaneGeometry(1000, 2000, 50, 50));
54 scene.add(plane);
55 var cube = createMesh(new THREE.CubeGeometry(2, 200, 800));
56 cube.position.x=0;
57 cube.position.y=0;
58 cube.position.z=0;
59 scene.add(cube);
60 var cylinder1 = createMesh1(new THREE.CylinderGeometry(25, 25, 80, 25, 1));
61 cylinder1.position.x=cube.position.x-400*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);
62 cylinder1.position.y=cube.position.y;
63 cylinder1.position.z=cube.position.z+400*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180);
64 var c = cylinder1.position.x;
65 var d = cylinder1.position.z;
66 scene.add(cylinder1);
67 var group1 = new THREE.Object3D();
68 group1.add(cube);
69 group1.add(cylinder1);
70 group1.position.x = 0;
71 group1.position.y = 0;
72 group1.position.z=0;
73 scene.add(group1);
74
75 function createMesh0(geom) {
76 var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial( { color: 0x550000 } );
77 meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
78 var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial( { color: 0xff0000 } );
79 wireFrameMat.wireframe = true;
80 var plane = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
81 return plane;
82 }
83 function createMesh(geom) {
84 var meshMaterial = new THREE.MeshNormalMaterial( { color: 0xffffff } );
85 meshMaterial.side = THREE.DoubleSide;
86 var wireFrameMat = new THREE.MeshBasicMaterial( { color: 0x9999ff } );
87 wireFrameMat.wireframe = true;
88 var mesh = THREE.SceneUtils.createMultiMaterialObject(geom, [meshMaterial, wireFrameMat]);
89 return mesh;
90 }
91 function createMesh1(geom) {
92 var mat = new THREE.MeshNormalMaterial( { color: 0xffff00 } );
93 var mesh = new THREE.Mesh(geom,mat);
94 return mesh;
95 }
96
97 camera.position.x = 0;
98 camera.position.y = -1300;
99 camera.position.z = 1500;
100 camera.lookAt(scene.position);
101
102 $("#WebGL-output").append(renderer.domElement);
103 renderer.render(scene, camera);
104 var stats = initStats();
105 cameraControls = new THREE.OrbitControls(camera, renderer.domElement);
106 cameraControls.maxDistance = 900;
107 cameraControls.minDistance = 0.5;
108 cameraControls.update();
109 var controls = new function() {
110 this.Speed = 0.1;
111 this.ugol = 135;
112 this.m = 20;
113 this.m1 = 15;
114 this.a='0'
115 }
116 var obj = { start_again:function(){
117 step=0;
118 cube.position.x=0;
119 cube.position.y=0;
120 cube.position.z=0;
121 cylinder1.position.x=cube.position.x-400*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);
122 cylinder1.position.y=cube.position.y;
123 cylinder1.position.z=cube.position.z+400*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180);
124 group1.position.x = 0;
125 group1.position.y = 0;
126 group1.position.z=0;
127 }};
128 var gui = new dat.GUI();
129 gui.add(controls, 'Speed',0.1,0.3);
130 gui.add(controls, 'ugol',89.9999,180);
131 gui.add(controls, 'm',0.1,50);
132 gui.add(controls, 'm1',0.1,50);
133 gui.add(controls,'a').listen();
134 gui.add(obj,'start_again');
135 var step = 0;
136 function render() {
137 cameraControls.update();
138 requestAnimationFrame(render);
139 renderer.render(scene, camera);
140 step += controls.Speed
141 ugol = controls.ugol
142 controls.a=a;
143 m = controls.m
144 m1=controls.m1
145 if(ugol<=135) {
146 group1.rotation.y=Math.cos(ugol*Math.PI/180);
147 }
148 else {
149 group1.rotation.y=Math.cos(ugol*Math.PI/180)+Math.cos((ugol-55)*Math.PI/180);
150 }
151 cylinder1.rotation.y = step*step;
152 a = -(g*m1*Math.sin(2*(180-ugol)*Math.PI/180))/(3*(m1+m)-2*m1*((Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180))*(Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180))));
153 var v =0.65*a;
154
155 if (cylinder1.position.z<=25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)) {
156 cylinder1.position.x = 25;
157 cylinder1.position.z = 25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);
158 cylinder1.rotation.y = 0;
159 group1.position.x =group1.position.x+v;
160 if (group1.position.x<=-500) {
161 step=0;
162 cube.position.x=0;
163 cube.position.y=0;
164 cube.position.z=0;
165 cylinder1.position.x=cube.position.x-400*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180);
166 cylinder1.position.y=cube.position.y;
167 cylinder1.position.z=cube.position.z+400*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)+25*Math.cos((180-ugol)*Math.PI/180);
168 group1.position.x = 0;
169 group1.position.y = 0;
170 group1.position.z=0;
171 }
172 }
173 else {
174 group1.position.x = (a*step*step)/2;
175 cylinder1.position.x=26;
176 cylinder1.position.z=d-g*Math.sin((180-ugol)*Math.PI/180)*step*step/2;
177 }
178 }
179 render();
180 function initStats() {
181 var stats = new Stats();
182 stats.setMode(0); // 0: fps, 1: ms
183 stats.domElement.style.position = 'absolute';
184 stats.domElement.style.left = '0px';
185 stats.domElement.style.top = '0px';
186 $("#Stats-output").append(stats.domElement);
187 return stats;
188 }
189 });
190 </script>
191 </body>
192 </html>
