Редактирование: Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса

[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Потенциалы взаимодействия]] > [[Парные силовые потенциалы взаимодействия | Парные силовые]] > [[Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса]]<HR>


Хрупкое взаимодействие Леннард-Джонса (Brittle Lennard-Jones, BLJ) определяется на основе силы взаимодействия [[Потенциал Леннард-Джонса|Леннард-Джонса]] с применением коэффициента формы, создающего потенциальный барьер, препятствующий слипанию частиц — см. интерактивный график ниже ''(перемещая слайдеры, проследите влияние коэффициентов).''  

<addscript src=Krivtsov/BLJ/>
<htmlet nocache="yes">Krivtsov/BLJ_TM</htmlet>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
'''Текст программы построения графиков на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"BLJ.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
// Хрупкое взаимодействий Леннард-Джонса 
// Brittle Lennard-Jones (BLJ) interaction
// Разработчик А.М. Кривцов 
// 17.05.2014 
// 06.11.2014 коррекция - удаление const (Цветков)
// Интернет: tm.spbstu.ru/BLJ

function MainBLJ(canvas) {

    // Предварительные установки

	var X_max = canvas.width;
 	var Y_max = canvas.height;
	
    // Размерные параметры
    
    var a = 1.;    // длина связи
    var D = 1.;    // энергия связи

    // Расчет констант взаимодействия

    var b = a * Math.pow(13./7, 1./6);    // положение минимума силы Леннард-Джонса (= 1.1086834 a)
    var b2 = b * b;
    var P0 = 12 * D / a;                  // коэффициент в выражении для силы Леннард-Джонса
    var P = 42. / 169 * P0 / b;           // модуль минимума силы Леннард-Джонса

	// Переменные параметры взаимодействия
	
	var al;   								// alpha - параметр взаимодействия
	var ac;   								// радиус обрезания взаимодействия
	
	var al1, ac2;							// производные параметры
	
    // Задание начальных значений параметров
   
	set_al(1);
	set_ac(1.5 * a);

    // Область построения графика
    var x_min = 0.9 * a;  
    var x_max = 2.5 * a;
    var y_min = -1.2 * P;    
    var y_max = 2 * P;      

 	var N = X_max;                 	// число точек по оси x
	var dx = x_max / N;            	// шаг по оси x
	var sx = X_max / x_max;        	// масштаб по оси x

	var sy; 							// масштаб по оси y
	var Y0;  							// положение 0 оси y в экранных координатах
	var context;  						// на context происходит рисование

	// Установка флажков чекбоксов
	var LJ_flag = true;
	var BLJ_flag = true;

    // настройка слайдеров и текстовых полей
    Slider_01.min = 0;       
    Slider_01.max = 4;
    Slider_01.step = 0.01;
    Slider_01.value = al;     			// значение ползунка должно задаваться после min, max и step
    Text_01.value = al;
    Slider_02.min = 1.2 * a;       		// лучше было бы взять acSlider.min = b, но b не кратно значению acSlider.step, что портит слайдер
    Slider_02.max = x_max;
    Slider_02.step = 0.01 * a;
    Slider_02.value = ac;     	
    Text_02.value = ac;
	
	draw();

    // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
    this.set_01 = function(input) { set_al(input);	draw(); }  
    this.set_02 = function(input) { set_ac(input);	draw(); }  
    
	// Функции, запускающиеся при изменении элементов управления
    this.setCheckbox_01 = function(bool) {LJ_flag = bool; 	 draw(); }
	this.setCheckbox_02 = function(bool) {BLJ_flag = bool; 	 draw(); }	

	function set_ac(value)
	{
		ac = Number(value);
		ac2 = ac * ac;	
	}

	function set_al(value)
	{
		al = Number(value);
		al1 = 1 + Math.sqrt(al / (1 + al));	
	}
	
	// Отображение
	
	function draw() 
	{ 
	   // Расчет параметров графики
		
		sy = Y_max / (y_max - y_min); 			// масштаб по оси y
		Y0 = Y_max + y_min * sy;  				// положение 0 оси y в экранных координатах

		context = canvas.getContext("2d");  	// на context происходит рисование

		context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); 	// очистить экран
        
        // Горизонтальная ось
        context.strokeStyle = 'lightgrey';
        context.beginPath();
        context.moveTo(0, Y0);
        context.lineTo(X_max, Y0);
        context.stroke();

        // Пунктирные линии
        context.beginPath();
        context.setLineDash([5]);
        context.moveTo(b * sx, Y0);
        context.lineTo(b * sx, Y0 + P * sy);
        context.lineTo(0,      Y0 + P * sy);
        context.stroke();
        context.setLineDash([0]);

        // Надписи
        context.fillStyle = 'black';
        context.font = "italic 20px Times";
        context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
        context.fillText("F", 5, 20);
        context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
        context.fillStyle = 'grey';
        context.fillText("a", a * sx + 3, Y0 - 3);
        context.fillText("b", b * sx - 3, Y0 - 3);
        context.fillText("-P", 3, Y0 + P * sy - 5);
        if (BLJ_flag)
		{
			var dX = 0, dY = 17;
			if (ac > 1.5)  { dX = 10; dY = 0; }        
			if (ac > 2.38) { dX = 0;  dY = 19; }
			context.fillText("a", ac * sx - 10 + dX, Y0 - 4 + dY);
			context.font = "12px Times";
			context.fillText("cut", ac * sx + dX, Y0 - 3 + dY);
		}
		
		// Графики сил
		Graph(F_BLJ, 	BLJ_flag, 	'red');
		Graph(F_LJ, 	LJ_flag, 	'black');
	}

	// Построение графика функции
	
	function Graph(F, flag, color)
	{
		if (!flag) return;
		
		context.strokeStyle = color;
		context.beginPath();
		for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
		{
			var y = F(x);
			var X = x * sx; 
			var Y = Y0 - y * sy; 

			if (Y > -Y_max) context.lineTo(X, Y);	// Графика, сильно выходящяя за границы области, отключается
		}
		context.stroke();
	}	
	
    // Потенциал Леннард-Джонса
    
    function U_LJ(r)
    {
        var s2 = 1 / (r * r);
        var s6 = s2 * s2 * s2;
        return D * s6 * (s6 - 2);
    }    
	
	// Сила Леннард-Джонса
    
    function F_LJ(r)
    {
        var s2 = 1 / (r * r);
        var s4 = s2 * s2;
        return P0 * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1) * r;
    }
	
	// Укороченная сила Леннард-Джонса
    
    function F_BLJ(r)
    {
        return k(r) * F_LJ(r);
    }

    // Rоэффициент формы
 
    function k(x)
    {
        if (x > ac) return 0; 
        if (x < b) return 1; 

        var z = (x * x - b2) / (ac2 - b2)
        var z2 = z * z;
        return (1 + al) * (1 - al1 * z2) * (1 - al1 * z2) - al;
	}    
	
	// Сглаживающий коэффициент
 
    function k1(x)
    {
        if (x > ac) return 0; 
        if (x < b) return 1; 

        var z = (x * x - b2) / (ac2 - b2)
        var z2 = z * z;
        return (1 - z2) * (1 - z2);
    }

}
</syntaxhighlight>
Файл '''"BLJ.html"'''
<syntaxhighlight lang="html5" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <meta charset="UTF-8" />
    <title>Brittle Lennard-Jones Interaction (BLJ)</title>
    <script src="BLJ.js"></script>
</head>
<body>
    <canvas id="canvasGraph" width="800" height="400" style="border:1px solid #000000;"></canvas>

 	<!--Выбор графика (чекбоксы)-->
	<div>
        Сила взаимодействия Леннард-Джонса:
		<font color="#000000" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_01" name="" onchange="app.setCheckbox_01(this.checked);" checked/>классическая,
        <font color="#ff0000" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_02" name="" onchange="app.setCheckbox_02(this.checked);" checked/>хрупкая
    </div>	

    <!--Установка параметров взаимодействия (текстовые поля и слайдеры)-->
    <div>
        <font face= "Times New Roman"><I>
        α = <input id="Text_01" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.set_01(this.value);
            document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
        "> 
		<input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
		a</I><SUB>cut</SUB> = <input id="Text_02" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.set_02(this.value);
            document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
        "><I> a</I>
		<input type="range" id="Slider_02" style="width: 100px;" oninput="app.set_02(this.value); document.getElementById('Text_02').value = this.value;">
		</font>
	</div>
    
	<script type="text/javascript">var app = new MainBLJ(
		document.getElementById('canvasGraph')
	);</script>

</body>
</html> 
</syntaxhighlight>
</div>
</div>


Сила взаимодействия определяется формулой <math> F(r) = k(r)F_{LJ}(r)</math>, где <math>F_{LJ}(r)</math> — сила [[Потенциал Леннард-Джонса|Леннард-Джонса]], <math>k(r)</math> — коэффициент формы:


<math>
k(r) = \left\{ 
\begin{array}{ll}
1, \qquad & r\le b; \\
\displaystyle (1+\alpha)\left(1-\left(1+\sqrt{\frac{\alpha}{1+\alpha}}\,\right)\left(\frac{r^2-b^2}{a_{\rm cut}^2-b^2}\right)^2\right)^2 - \alpha, \qquad & b<r\le a_{\rm cut}; \\
0, \qquad & r > a_{\rm cut}; \\
\end{array}
\right.
</math>


<math>
F_{LJ} = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right].
</math>


Здесь <math>b = \sqrt[6]{\frac{13}7}\,a</math> — расстояние, на котором реализуется минимальное значение силы Леннард-Джонса (расстояние разрыва связи), <math>a_{\rm cut}</math> — радиус обрезания взаимодействия, <math>\alpha</math> — положительный параметр, определяющий хрупкость взаимодействия.


Согласно определению, силы <math>F(r)</math> и <math>F_{LJ}(r)</math> совпадают при <math>r \le b</math>, следовательно, для хрупкого и исходного взаимодействий совпадают такие характеристики, как жесткость и прочность связи, расстояние разрыва связи и критическая деформация. Хрупкое взаимодействие может быть построено аналогичным образом на основе любого парного взаимодействия, для которого определено расстояние разрыва связи <math>b</math>.


Данное взаимодействие впервые предложено в работе
* Krivtsov A.M., Pavlovskaia E.E., Wiercigroch M. '''Impact Fracture of Rock Materials Due to Percussive Drilling Action.''' Proceedings of International Conference [http://ictam04.ippt.gov.pl/ "XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics"], 15 - 21 August 2004, Warsaw, Poland. (Download pdf: [[Медиа:Krivtsov_2004_ICTAM.pdf|417 kb]]).


== См. также ==

* [[Укороченное взаимодействие Леннард-Джонса]]
* [[Потенциал Леннард-Джонса]]

[[Category: Виртуальная лаборатория|Леннард-Джонс - хрупкое взаимодействие]]