Функция Неймана — различия между версиями

Версия 12:22, 8 июля 2016

Функции Неймана

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода.

Функции Неймана — решения [math]Y_\alpha(x)[/math] уравнения Бесселя, бесконечные в точке [math]x=0[/math].

Эта функция связана с [math]J_\alpha(x)[/math] следующим соотношением:

[math]Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},[/math]

где в случае целого [math]\alpha[/math] берётся предел по [math]\alpha[/math]

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми [math]J_\alpha(x)[/math], являются решения, конечные в точке [math]x=0[/math] при целых или неотрицательных [math]\alpha[/math]. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых [math]\alpha[/math]):

[math] J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} [/math]

Здесь [math]\Gamma(z)[/math] — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения.

Ссылки

• Разработчик: Иващенко Андрей
• Виртуальная лаборатория