Редактирование: Физически линейная квадратная решетка

[[Виртуальная лаборатория]] > [[Физически линейная квадратная решетка]] <HR>

==Постановка задачи==
В данной задаче рассматривается квадратная решётка, состоящая из частиц одинаковых масс. Эти частицы связаны между собой линейными пружинками одинаковой жёсткости. Система рассматривается при фиксированных граничных условиях (все крайние частицы зафиксированы). Начальные скорости остальным частицам в программе задаются произвольно.
Уравнение движения в векторном виде:
::<math>
\ddot{\bf u}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf i}{\bf i}\cdot({\bf u}_{k+1,l}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k-1,l}) + {\bf j}{\bf j}\cdot({\bf u}_{k,l+1}-2{\bf u}_{kl} + {\bf u}_{k,l-1})),
</math>
Уравнение движения при проекции на оси:
::<math>
\ddot{\bf x}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf x}_{k+1,l}-2{\bf x}_{kl} + {\bf x}_{k-1,l})
</math>

::<math>
\ddot{\bf y}_{kl} = {\omega}_{0}^2({\bf y}_{k,l+1}-2{\bf y}_{kl} + {\bf y}_{k,l-1})
</math>

где <math> {\bf u}</math> - перемещение,  <math>{\omega}_{0} =\sqrt\frac {\bf c}{\bf m} </math>,
<math> {\bf c}</math>  - жёсткость пружинок, <math> {\bf m}</math>  - масса частиц, <math> {\bf i}, {\bf j}</math> - орты,  <math>  {\bf x}, {\bf y}</math> -координаты.

Данное дифференциальное уравнение решалось [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BB%D0%B5%20 методом численного интегрирования Верле]

Ниже приведены график изменения энергии системы и график изменения среднего квадрата скоростей.
На первом графике можно пронаблюдать выравнивание кинетической и потенциальной энергии системы. При большом количестве частиц (N > 100) мы можем увидеть, что график энергий образует [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%91%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8F функцию Бесселя].

==Реализация==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/FomichevaM/index.html |width=1200|height=1600 |border=0 }}

==Ссылки==  
*Автор проекта: [[ Фомичева Мария]]
*[[Виртуальная лаборатория]]
*Вы можете посмотреть код проекта на bitbucket.org: [https://bitbucket.org/mfomicheva/projectoftheoreticalmechanics Код проекта]