ФПУ термокристалл — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Проект "Термокристалл"]] > [[ФПУ термокристалл]] <HR>
 
[[Виртуальная лаборатория]] > [[ФПУ термокристалл]] <HR>
 
[[Виртуальная лаборатория]] > [[ФПУ термокристалл]] <HR>
 
<math>
 
<math>
Строка 8: Строка 9:
  
 
::<math>
 
::<math>
−
\ddot u_k = \omega_0^2 (u_{k-1} - 2u_k + u_{k+1})(1 + u_{k+1} - u_{k-1}),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}},
+
\ddot u_k = (u_{k-1} - 2u_k + u_{k+1})(\omega_0^2 + \alpha(u_{k+1} - u_{k-1})),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}},
 
</math>
 
</math>
−
где <math>u_k</math> — перемещение <math>k</math>-й частицы; <math>k</math> — индекс, принимающий произвольные целые значения.
+
где <math>u_k</math> — перемещение <math>k</math>-й частицы; <math>k</math> — индекс, принимающий произвольные целые значения, <math>\alpha</math> — коэффициент при нелинейной части уравнения.
 
Будем считать, что выполнены условия периодичности: <math>u_{k+N} = u_k</math>, где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц.
 
Будем считать, что выполнены условия периодичности: <math>u_{k+N} = u_k</math>, где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц.
  
 
Начальные скорости в кристалле задаются следующим образом:
 
Начальные скорости в кристалле задаются следующим образом:
 
::<math>
 
::<math>
−
\left. v(x) \right |_{t = 0} = A \sin \( \frac{2\pi x}{L} \),
+
\left. v(x) \right |_{t = 0} = A \sin \( \frac{2\pi x}{N} \),
 
</math>
 
</math>
−
где <math>A</math> — амплитуда, <math>L</math> — длина кристалла, <math>x\in [0, L]</math>.
+
где <math>A</math> — амплитуда, <math>N</math> — количество частиц в кристалле, <math>x\in [0, N]</math>.
  
 
Начальные перемещения заданы таким образом, чтобы синус двигался по цепочке вправо. Кристалл бесконечный (т.к. выполнены условия периодичности), поэтому можно отслеживать синус двигая "камеру" за ним со скоростью движения волны.
 
Начальные перемещения заданы таким образом, чтобы синус двигался по цепочке вправо. Кристалл бесконечный (т.к. выполнены условия периодичности), поэтому можно отслеживать синус двигая "камеру" за ним со скоростью движения волны.
Строка 24: Строка 25:
  
 
Чтобы определить, насколько форма цепочки близка к форме синуса, посчитаем амплитуду <math>A</math>:
 
Чтобы определить, насколько форма цепочки близка к форме синуса, посчитаем амплитуду <math>A</math>:
−
::<math>A = 2\int_0^{L}{v(x)sin(x)}\,\mathrm{d}x</math>.
+
::<math>A = 2\int_0^{N}{v(x)sin(x)}\,\mathrm{d}x</math>.
 
Чтобы понять, по какому закону изменяется функция <math>A(t)</math>, посчитаем:
 
Чтобы понять, по какому закону изменяется функция <math>A(t)</math>, посчитаем:
 
::<math>A^* = \sqrt{-\log{A}}</math>.
 
::<math>A^* = \sqrt{-\log{A}}</math>.
  
−
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Equations/nonlinear%20interaction%20v9_1_cutted/Equations.html |width=1060 |height=840 |border=0 }}
+
С помощью программы ниже можно увидеть, как изменяются параметры <math>A</math> и <math>A^*</math> от времени.
 +
 
 +
{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Tcvetkov/Equations/nonlinear%20interaction%20v9_4_cutted/Equations.html |width=1060 |height=840 |border=0 }}
  
 
Видно, что до момента падения амплитуды до значения, близкого к нулю, <math>A^*</math> — прямая с некоторой погрешностью. Значит <math>A(t)</math> изменяется по закону <math>e^{-t^2}</math>.
 
Видно, что до момента падения амплитуды до значения, близкого к нулю, <math>A^*</math> — прямая с некоторой погрешностью. Значит <math>A(t)</math> изменяется по закону <math>e^{-t^2}</math>.
 +
 +
== Проекты по теме ==
 +
*[[ФПУ термокристалл]]
 +
**[[ФПУ термокристалл: аналитическое решение| аналитическое решение]]
  
 
[[Category: Виртуальная лаборатория]]
 
[[Category: Виртуальная лаборатория]]
 +
[[Category: Проект "Термокристалл"]]

Текущая версия на 13:07, 19 апреля 2016

Кафедра ТМ > Проект "Термокристалл" > ФПУ термокристалл
Виртуальная лаборатория > ФПУ термокристалл

[math] \def\({\left(} \def\){\right)} [/math] Рассматривается одномерный кристалл: цепочка одинаковых частиц массы [math]m[/math], соединенных одинаковыми нелинейными пружинами с жесткостью [math]C[/math]. Уравнения динамики кристалла имеют вид:

[math] \ddot u_k = (u_{k-1} - 2u_k + u_{k+1})(\omega_0^2 + \alpha(u_{k+1} - u_{k-1})),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}}, [/math]

где [math]u_k[/math] — перемещение [math]k[/math]-й частицы; [math]k[/math] — индекс, принимающий произвольные целые значения, [math]\alpha[/math] — коэффициент при нелинейной части уравнения. Будем считать, что выполнены условия периодичности: [math]u_{k+N} = u_k[/math], где [math]N \gg 1[/math] — число независимых частиц.

Начальные скорости в кристалле задаются следующим образом:

[math] \left. v(x) \right |_{t = 0} = A \sin \( \frac{2\pi x}{N} \), [/math]

где [math]A[/math] — амплитуда, [math]N[/math] — количество частиц в кристалле, [math]x\in [0, N][/math].

Начальные перемещения заданы таким образом, чтобы синус двигался по цепочке вправо. Кристалл бесконечный (т.к. выполнены условия периодичности), поэтому можно отслеживать синус двигая "камеру" за ним со скоростью движения волны.

При малых [math]t[/math] в распределении скоростей по длине цепочки явно прослеживается форма синуса, однако, при возрастании [math]t[/math] цепочка теряет свою форму. Это случается из за нелинейного взаимодействия между частицами.

Чтобы определить, насколько форма цепочки близка к форме синуса, посчитаем амплитуду [math]A[/math]:

[math]A = 2\int_0^{N}{v(x)sin(x)}\,\mathrm{d}x[/math].

Чтобы понять, по какому закону изменяется функция [math]A(t)[/math], посчитаем:

[math]A^* = \sqrt{-\log{A}}[/math].

С помощью программы ниже можно увидеть, как изменяются параметры [math]A[/math] и [math]A^*[/math] от времени.

Видно, что до момента падения амплитуды до значения, близкого к нулю, [math]A^*[/math] — прямая с некоторой погрешностью. Значит [math]A(t)[/math] изменяется по закону [math]e^{-t^2}[/math].

Проекты по теме[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=ФПУ_термокристалл&oldid=40983»