Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3

== '''Задача 1''' ==

'''Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math>S_1=4\pi R^2</math>)с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится сферическое тело площадью <math>S_2</math>'''.

Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей.

Исходим из следующих соображений.

*Все частицы имеют одинаковую массу <math>m</math>

* Все частицы отделяются от сферического тела 

1) В радиальных направлениях

2) С одинаковой начальной скоростью <math>V_0</math>

3) без ускорения

'''Решение'''

Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.

<math>(1):\frac{\partial w}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (w \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)</math>,

где

<math>w</math>-концентрация частиц,

<math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math>

<math>\delta^3(r)</math>-дельта функция Дирака.

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

<math>(2):w V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I</math>

<math>(3):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math>

Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, <math>S_2=\pi a^2</math>)  находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет 

<math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 2\pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>,

отсюда

<math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=4\pi m V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math>

== '''Задача 2''' ==
'''При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования'''.

'''Решение'''

Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [[http://tm.spbstu.ru/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%22%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F_-_%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0%22_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_2 работой]], концентрация отделившихся частиц на расстоянии <math>r</math> запишется как 

<math>(6):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(-n S r ) </math>, где

<math>n=n(r)</math> -концентрация экранирующих тел.

<math>S</math> -площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть <math>4S</math>).

<math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=K\frac{ S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math>

== '''Задача 3''' ==
'''Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>4S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>4S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r'''.


'''Решение'''
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>2 S_2</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_2</math> ), получим связь силы и потенциала: 

<math>\varphi=-\int \frac{F}{4 S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(-n S r)}{n S r}-Ei(1,n S r)\right)</math>

<math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math>

== ''' Задача 4''' ==
'''Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти функцию потенциала.'''

'''Решение'''
По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. 

'''Потенциал на поверхности шара'''

Представим себе, что точка <math>P</math> находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где  <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>. 

Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.

<math>dN=ndV</math>

<math>dS_{ekv}=dN\cdot S=ndVS</math>

Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.

<math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi}  d\phi\int_0^{2\pi}dA  \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math>

Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>К-r'</math> и <math>К+r'</math>, а <math>\rho d\rho=Rr'sin\phi d\phi</math>. 

Имеем:

<math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{R-r'}^{R+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r' 
- n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math>

После интегрирования, получим
 
<math>(11):</math>

[[Файл: PSI2.png|thumb|left|700px]]











<math>nS^2</math> следует читать, как <math>(nS)^2</math>

== '''Потенциал во внутренней точке шара''' ==

Проведем через точку  сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом <math>r</math> и шаровой слой толщиной <math>R-r</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке  направлена от центра шара и равна

<math>(12):F(r)=2\pi \frac{K n S}{r^2}\int_0^r dr' \int_{r-r'}^{r+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r' 
- n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math>
<math>=\frac{ 2\pi K}{r^2}\cdot\chi(r)</math>

Поскольку <math>F(r)=\frac{d\varphi(r)}{dr}</math> , то для потенциала во внутренней точке шара получим

<math>\frac{d\varphi(r)}{dr}=\frac{2\pi K}{r^2}\chi(r)</math>

<math>d\varphi(r)=2\pi K \int_0^r \frac{\chi(r)}{r^2}dr +C</math>, где <math>C</math> константа интегрирования. <math>C</math> находится из граничного условия <math>V(R)=\varphi(R)</math>, где в правую часть нужно подставить выражение из <math>(11)</math>

Форма получившейся кривой на рисунке ниже

[[Файл: itog2.png|thumb|left|700px]] 




Выбранные параметры
<math>K=1</math>

<math>n\cdot S=10^{-4}</math>

<math>R=10^{4}</math>

В нуле функция принимает конечное значение.

==Цифры==
Объём и площадь сферы связаны соотношением  <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок  

поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> 

Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (<math>R=7\cdot 10^{10} Sm</math>), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим  
<math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math>

Если половина площади частиц примерно ровна <math>600 sm^2</math>, что соответствует радиусу 10 см, то получим

<math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров.

==Некоторые уравнения==
Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы

Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана

<math>
\frac{\partial f}{\partial t}
+  \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} 
+ \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} 
= \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}
</math>

Здесь '''F'''('''r''', ''t'') — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а ''m'' — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. 

Поэтому

<math>
\mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} 
+ \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} 
= 0
</math>

==См. Также==
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 1]]
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]

[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
[[Category: Студенческие проекты]]