Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
| − | '''Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math> | + | == '''Постановка задачи''' == |
| + | |||
| + | Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math>2S_1=4\pi R^2</math>)с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится сферическое тело площадью <math>2 S_2</math>. | ||
Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей. | Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей. | ||
| Строка 37: | Строка 38: | ||
<math>(3):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> | <math>(3):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> | ||
| − | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ( площадь | + | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ("эффективная" площадь <math>S_2=2 \pi a^2</math>) находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет |
| − | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 | + | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, |
отсюда | отсюда | ||
| − | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= | + | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> |
| − | == ''' | + | == '''Постановка задачи''' == |
| − | + | ||
| + | |||
| + | В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования. | ||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
| Строка 56: | Строка 59: | ||
<math>n=n(r)</math> -концентрация экранирующих тел. | <math>n=n(r)</math> -концентрация экранирующих тел. | ||
| − | <math>S</math> -площадь | + | <math>S</math> -эффектная площадь экранирующих тел (в случае сферических тел, полая их площадь есть <math>2S</math>). |
| − | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{ | + | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=2 K\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math> |
| − | == ''' | + | == '''Постановка задачи''' == |
| − | + | ||
| + | Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>2 S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>2S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r. | ||
| Строка 67: | Строка 71: | ||
Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>2 S_2</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_2</math> ), получим связь силы и потенциала: | Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>2 S_2</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_2</math> ), получим связь силы и потенциала: | ||
| − | <math>\varphi=-\int \frac{F}{ | + | <math>\varphi=-\int \frac{F}{2 S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(-n S r)}{n S r}-Ei(1,n S r)\right)</math> |
<math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math> | <math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math> | ||
| − | == ''' | + | == ''' Постановка задачи''' == |
| − | + | ||
| + | Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти закон функцию потенциала. | ||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. | ||
| − | + | Теперь будем считать, что шар не полый, и плотность частиц постоянна. Проведем через точку <math>P</math> сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с массой <math>m</math> и шаровой слой с массой <math>M-m</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром. | |
| − | Представим себе, что точка <math>P</math> находится | + | Представим себе, что точка <math>P</math> находится вне шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>. |
Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | ||
| Строка 91: | Строка 96: | ||
<math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math> | <math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math> | ||
| − | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math> | + | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>r-r'</math> и <math>r+r'</math>, а <math>\rho d\rho=rr'sin\phi d\phi</math>. |
Имеем: | Имеем: | ||
| − | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{ | + | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{r-r'}^{r+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{r} r' |
| − | - n S \frac{\rho r'}{ | + | - n S \frac{\rho r'}{r} Ei(1,nS\rho)\right)</math> |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | Первое слагаемое:<math><math>Вставьте сюда формулу</math></math> | |
| + | <math>\frac{2\pi K}{nSr} e^{-nSr}\cdot \Bigl( e^{nSR}-e^{-nSR}\Bigr)\cdot\left( R-\frac{1}{nS}\right) </math> | ||
| + | Предполагая, что <math>e^{-nSR}</math>-очень мало по сравнению с <math>e^{nSR}</math>, упрощая, получаем | ||
| + | <math>\frac{2\pi K }{nSr}\cdot e^{nS(R-r)}\cdot\left( R-\frac{1}{nS}\right)</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок | Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок | ||
поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> | поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math> | ||
| − | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня | + | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня, а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим |
<math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math> | <math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math> | ||
| Строка 160: | Строка 121: | ||
<math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | <math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | ||
| + | |||
| + | И теперь самое главное. | ||
| + | |||
| + | При таких условиях <math>\frac{1}{nS}</math> на четыре порядка меньше <math>R</math>, так что этим слогаемым тоже можно принебречь | ||
| + | |||
| + | <math>(11): \varphi=\frac{2\pi K}{nS}\frac{R}{r} e^{-nSr}\cdot \Bigl( e^{nSR}-e^{-nSR}\Bigr) </math> | ||
==Некоторые уравнения== | ==Некоторые уравнения== | ||
| Строка 182: | Строка 149: | ||
= 0 | = 0 | ||
</math> | </math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
