| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == '''Задача 1''' ==
| + | '''Постановка задачи''' |
| | + | Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится небольшая площадка. |
| | | | |
| − | '''Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math>S_1=4\pi R^2</math>)с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится сферическое тело площадью <math>S_2</math>'''.
| + | Требуется подсчитать силу, с которой сфера взаимодействует с площадкой. |
| − | | |
| − | Требуется подсчитать силу, с которой это тело взаимодействует с частицей. | |
| | | | |
| | Исходим из следующих соображений. | | Исходим из следующих соображений. |
| Строка 21: |
Строка 20: |
| | Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. | | Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. |
| | | | |
| − | <math>(1):\frac{\partial w}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (w \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)</math>, | + | <math>(1):\frac{\partial n}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (n \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)</math>, |
| | | | |
| | где | | где |
| | | | |
| − | <math>w</math>-концентрация частиц, | + | <math>n</math>-концентрация частиц, |
| | | | |
| | <math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> | | <math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> |
| Строка 33: |
Строка 32: |
| | Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. | | Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. |
| | | | |
| − | <math>(2):w V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I</math> | + | <math>(2):n V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I</math> |
| | | | |
| − | <math>(3):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> | + | <math>(3):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> |
| | | | |
| − | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ( площадь поперечного сечения, именно она является характеристикой взаимодействия, <math>S_2=\pi a^2</math>) находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет | + | Рассмотрим небольшую площадку площадью <math>S=\pi a^2</math>, находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет |
| | | | |
| − | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 2\pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, | + | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, |
| | | | |
| | отсюда | | отсюда |
| | | | |
| − | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=4\pi m V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> | + | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}</math> |
| − | | |
| − | == '''Задача 2''' ==
| |
| − | '''При условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования'''.
| |
| − | | |
| − | '''Решение'''
| |
| − | | |
| − | Если среда, где распространяется излучение, не пустая, присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [[http://tm.spbstu.ru/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%22%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F_-_%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0%22_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_2 работой]], концентрация отделившихся частиц на расстоянии <math>r</math> запишется как
| |
| − | | |
| − | <math>(6):w=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(-n S r ) </math>, где
| |
| − | | |
| − | <math>n=n(r)</math> -концентрация экранирующих тел.
| |
| − | | |
| − | <math>S</math> -площадь поперечного сечения экранирующих тел (в случае сферических тел, полагая их площадь есть <math>4S</math>).
| |
| − | | |
| − | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{4\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=K\frac{ S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math>
| |
| − | | |
| − | == '''Задача 3''' ==
| |
| − | '''Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>4S_1</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>w</math> и площадью <math>4S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r'''.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''Решение'''
| |
| − | Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>2 S_2</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_2</math> ), получим связь силы и потенциала:
| |
| − | | |
| − | <math>\varphi=-\int \frac{F}{4 S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(-n S r)}{n S r}-Ei(1,n S r)\right)</math>
| |
| | | | |
| − | <math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(-n S r)}{r}-n S \cdot Ei(1,n S r)\right)</math>
| + | '''Постановка задачи''' |
| | | | |
| − | == ''' Задача 4''' ==
| + | В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования. |
| − | '''Для однородного шара с концентрацией частиц <math>n </math> найти функцию потенциала.'''
| |
| | | | |
| | '''Решение''' | | '''Решение''' |
| − | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует.
| |
| − |
| |
| − | '''Потенциал на поверхности шара'''
| |
| − |
| |
| − | Представим себе, что точка <math>P</math> находится на поверхности шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>.
| |
| − |
| |
| − | Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц.
| |
| − |
| |
| − | <math>dN=ndV</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>dS_{ekv}=dN\cdot S=ndVS</math>
| |
| − |
| |
| − | Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал.
| |
| − |
| |
| − | <math>(9):\varphi(r)=K \int_0^R dr'\int_0^{\pi} d\phi\int_0^{2\pi}dA \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho} - n S Ei(1,nS\rho)\right)nS r'^2sin\phi </math>
| |
| − |
| |
| − | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>К-r'</math> и <math>К+r'</math>, а <math>\rho d\rho=Rr'sin\phi d\phi</math>.
| |
| − |
| |
| − | Имеем:
| |
| − |
| |
| − | <math>(10):\varphi(r)=2\pi K n S\int_0^R dr' \int_{R-r'}^{R+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r'
| |
| − | - n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math>
| |
| | | | |
| − | После интегрирования, получим
| + | Если среда, где распространяется излучение, не пустая присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [[http://tm.spbstu.ru/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%22%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F_-_%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0%22_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_2 работой]], как |
| − |
| |
| − | <math>(11):</math>
| |
| | | | |
| − | [[Файл: PSI2.png|thumb|left|700px]]
| + | <math>(6):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(\rho S r ) </math>, где |
| | | | |
| | + | <math>\rho</math> концентрация пылинок. |
| | | | |
| | + | <math>S</math> эффектная площадь частиц среды. |
| | | | |
| | + | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I \frac{a^2 R^2 exp(\rho S r )}{r^2}</math> |
| | | | |
| | + | '''Постановка задачи''' |
| | | | |
| − | | + | Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы радиуса <math>R</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>\rho</math> и площадью <math>S</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r. |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | <math>nS^2</math> следует читать, как <math>(nS)^2</math> | |
| − | | |
| − | == '''Задача 5''' ==
| |
| − | '''Потенциал во внутренней точке шара'''
| |
| | | | |
| | '''Решение''' | | '''Решение''' |
| | | | |
| − | Проведем через точку сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с радиусом <math>r</math> и шаровой слой толщиной <math>R-r</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром, так как шаровой слой, внутреннюю точку не отталкивает. Поэтому радиационная сила в точке направлена от центра шара и равна
| + | Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной частицы,радиуса <math>a</math> внесенной в отталкивающее поле, получим связь силы и потенциала: |
| − | | |
| − | <math>(12):F(r)=2\pi \frac{K n S}{r^2}\int_0^r dr' \int_{r-r'}^{r+r'}d\rho\left(\frac{exp(-ns\rho)}{R} r'
| |
| − | - n S \frac{\rho r'}{R} Ei(1,nS\rho)\right)</math>
| |
| − | <math>=\frac{ 2\pi K}{r^2}\cdot\chi(r)</math>
| |
| − | | |
| − | Поскольку <math>F(r)=\frac{d\varphi(r)}{dr}</math> , то для потенциала во внутренней точке шара получим
| |
| − | | |
| − | <math>\frac{d\varphi(r)}{dr}=\frac{2\pi K}{r^2}\chi(r)</math>
| |
| − | | |
| − | <math>d\varphi(r)=2\pi K \int_0^r \frac{\chi(r)}{r^2}dr +C</math>, где <math>C</math> константа интегрирования. <math>C</math> находится из граничного условия <math>V(R)=\varphi(R)</math>, где в правую часть нужно подставить выражение из <math>(11)</math>
| |
| − | | |
| − | Форма получившейся кривой на рисунке ниже
| |
| − | | |
| − | [[Файл: itog2.png|thumb|left|700px]]
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | Выбранные параметры
| |
| − | <math>K=1</math>
| |
| − | | |
| − | <math>n\cdot S=10^{-4}</math>
| |
| − | | |
| − | <math>R=10^{4}</math>
| |
| − | | |
| − | В нуле функция принимает конечное значение.
| |
| − | | |
| − | ==Цифры==
| |
| − | Объём и площадь сферы связаны соотношением <math>V=\frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2}</math>, масса ледяных пылинок
| |
| − | | |
| − | поэтому <math>m= 0.917 \cdot \frac{2}{3\sqrt{4\pi}}S^{3/2} \approx 0.17 S^{3/2} </math>
| |
| − | | |
| − | Если теперь положить, что радиус системы Земля-Луна на начальных этапах своей эволюции был в 2 раза больше расстояния между Луной и Землёй сегодня (<math>R=7\cdot 10^{10} Sm</math>), а масса была равна суммы масс Земли и Луны, то получим
| |
| − | <math>n=\frac{M}{Vm}=\frac{6.04\cdot 10^{27}}{2.37\cdot10^{32}\cdot 0.17 S^{3/2}}\frac{1}{sm^3}</math>
| |
| − | | |
| − | Если половина площади частиц примерно ровна <math>600 sm^2</math>, что соответствует радиусу 10 см, то получим
| |
| − | | |
| − | <math>n=8.25\cdot 10^{-10}\frac{1}{sm^3}</math>, что примерно соответствует 1 частице в кубе 10х10 метров. | |
| − | | |
| − | ==Некоторые уравнения==
| |
| − | Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы
| |
| − | | |
| − | Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial f}{\partial t}
| |
| − | + \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}
| |
| − | + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}
| |
| − | = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}
| |
| − | </math>
| |
| − | | |
| − | Здесь '''F'''('''r''', ''t'') — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а ''m'' — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.
| |
| − | | |
| − | Поэтому
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}
| |
| − | + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}
| |
| − | = 0
| |
| − | </math>
| |
| | | | |
| − | ==См. Также== | + | <math>F=a^2 \bigtriangledown \varphi</math> и |
| − | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 1]]
| |
| − | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
| |
| | | | |
| − | [[Category: Проект "Земля - Луна"]]
| + | <math>\varphi=\int \frac{F}{a^2} dr=2 \pi m V_0 I R^2 \rho S \left(-\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}+\int\frac{exp(\rho S r)}{r}\right) = \beta \cdot \alpha\cdot R^2 \left(-\frac{exp(\alpha r)}{\alpha r}-Ei(1,-\alpha r)\right)</math> |
| − | [[Category: Студенческие проекты]]
| |
