Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного стационарного источника

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью [math]\dot N[/math] (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).

В случае отсутствия рассеяния уравнение для концентрации [math]n[/math]

[math] (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r) [/math]

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N[/math]

[math](3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

При наличии рассеяния:

[math] (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r) [/math]

[math]D[/math]-коэффициент диффузии.

[math] (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N [/math]

[math] (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D} [/math]

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению

[math](7):D=\frac{1}{3} \lambda v[/math],

где [math]\lambda[/math]-длинна свободного пробега, а [math]v[/math]- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать

[math](8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}[/math]

[math]d[/math]-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя [math]\xi_D[/math], который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

[math](9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v[/math],

где [math] \xi_D=1.5\div 2.2[/math]

Литература:

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [1]

Случай дискообразного протопланетного облака

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону [math]\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}[/math]. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью [math]\dot N[/math]. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.

[math]n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии [math]r[/math] от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма [math]dxdydz[/math], расположенного на расстоянии [math]x[/math] от центра диска будет равен

[math]n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}[/math],

где [math][x,r][/math] расстояние между [math]r[/math] и [math]x[/math], а элемент объёма [math]dV=2\pi x dx d\alpha[/math]

Проинтегрировав по всем [math]x[/math], мы найдём концентрацию в точке [math]r[/math].

[math]n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}[/math]

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при [math]r=0[/math], он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

[math]\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)[/math]

Уравнение равновесия.

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, [math]m(r)[/math]-масса протопланетного диска радиуса [math]r[/math]

Испарение пылинок в вакуум

Интенсивность испарения [[math]g/cm^2\cdot sek[/math]] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] , где

[math]p^*[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

[math] \dot m =4\pi r^3 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = \frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда "время жизни" [math]t_l=\frac{r \rho}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки [math]t_l[/math] должно быть больше времени свободного пробега [math]\tau[/math] этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

[math]\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}[/math] ,

где

[math]v[/math]- средняя скорость пылинок,

[math]d[/math] -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

[math]d^3\gt \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}[/math]

Давление насыщенного пара воды при [math]30^o C[/math] равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

См. также

• Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2. (2012 г.)