Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
м
(→‎Испарение пылинок в вакуум)
 
(не показано 39 промежуточных версий 2 участников)
Строка 19: Строка 19:
 
4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.
 
4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.
  
−
==Диффузия от точечного источника==
+
==Диффузия от точечного стационарного источника==
  
 
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
 
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
−
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:
+
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).  
 +
 
 +
'''В случае отсутствия рассеяния''' уравнение для концентрации <math>n</math>
  
 
<math>
 
<math>
−
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
+
(1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
−
==Итоги==
+
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
 +
 
 +
<math>(2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math>
 +
 
 +
<math>(3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
  
−
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
+
''' При наличии рассеяния:'''
−
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:
 
  
 
<math>
 
<math>
−
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
+
(4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
−
, где <math>n(r,t)</math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии <math>r</math> от излучающей частицы в некоторый момент времени <math>t</math>, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для <math>D</math> можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n\sigma_{n}</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек].
+
<math>D</math>-коэффициент диффузии.
−
 
 
−
Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.
 
  
 
<math>
 
<math>
−
-D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N            
+
(5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
 
</math>
 
</math>
−
 
−
Проинтегрируем по <math>r</math> и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <math>n</math> распределена по пространству таким вот образом:
 
  
 
<math>
 
<math>
−
n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0....................[1]         
+
(6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
 
</math>
 
</math>
  
−
==Случай дискообразного протопланетного облака==
+
Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению
−
Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой  [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).
 
  
−
<math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности.
+
<math>(7):D=\frac{1}{3} \lambda v</math>,
  
−
<math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math>
+
где <math>\lambda</math>-длинна свободного пробега, а <math>v</math>- средняя скорость частиц.
  
−
Смотри рисунок  '''internal.'''
+
В первом приближении можно считать
−
[[Файл: internal.jpg|thumb|right|540px|internal]]
 
  
−
Легко сообразить для левой полуокружности:
+
<math>(8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}</math>
  
−
<math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math>
+
<math>d</math>-диаметр молекулы.
  
−
и
+
В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя <math>\xi_D</math>, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа
  
−
<math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math>
+
<math>(9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v</math>,
  
−
для правой.
+
где <math> \xi_D=1.5\div 2.2</math>
  
−
Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.
+
'''Литература:'''
  
 +
Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".
  
−
<math>n(r)_{internal}=2\int_0^r da \left(
+
Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [http://snvs.ru/knigi/61-texnika-vysokogo-vakuuma-ya-groshkovskij-1975g.html]
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
  
 +
==Случай дискообразного протопланетного облака==
  
−
Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G .
+
Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону <math>\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}</math>. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.
−
Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать
 
−
[[Файл: external.jpg|thumb|right|540px|external]]
 
  
−
<math>n(r)_{internal}=2\int_r^R da \left(
+
Какждая частица испаряется с интенсивностью <math>\dot N</math>. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет
 
  
 +
Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.
  
 +
Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.
 +
 +
<math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
  
−
<math>n(r)=n(r)_{external}+n(r)_{internal}=</math>
+
Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии <math>r</math> от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки  элементарного объёма <math>dxdydz</math>, расположенного на расстоянии <math>x</math> от центра диска будет равен
  
 +
<math>n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}</math>,
  
−
<math>2\int_0^R da \left(
+
где <math>[x,r]</math> расстояние между <math>r</math>  и <math>x</math>, а элемент объёма <math>dV=2\pi x dx d\alpha</math>
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 
−
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 
−
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
 
  
−
[[Файл:Points.png|600px|thumb|right|concentration]]
+
Проинтегрировав по всем <math>x</math>, мы найдём концентрацию в точке <math>r</math>.
  
−
Значение концентрации пылинок
+
<math>n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}</math>
  
−
<math>w(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math>
+
В элементарных функциях интеграл не берётся.
  
−
Задача свелась к вычислению данных интегралов.
+
Можно отметить, что при <math>r=0</math>, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.
  
−
 
+
<math>\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)</math>
−
 
 
−
Но этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Поэтому он был вычислен численно. На рисунке concentration, изображен результат численного интегрирования. Здесь <math>R=1</math>, и константа перед интегралом тоже взята за 1 (Точный вид этой константы зависит от константы диффузии <math>D</math>).
 
−
Что удивительно, при <math>r=R</math>, значение интеграла не равно нулю. Это можно объяснить тем, что у реального протопланетного диска нет чёткой границы.
 
  
 
==Уравнение равновесия.==
 
==Уравнение равновесия.==
Строка 133: Строка 119:
  
 
==Испарение пылинок в вакуум==
 
==Испарение пылинок в вакуум==
−
Интенсивность испарения [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой Ленгмюра.
+
Интенсивность испарения в вакууме [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой [http://kmapp.narod.ru/st004.htm Ленгмюра].
  
 
<math>
 
<math>
Строка 146: Строка 132:
  
 
Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
 
Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
 +
 +
см также [http://www.emalko.ru/opredelenie-skorosti-ispareniya-i-otnositel-noj-letuchesti/]
 +
  
 
<math>
 
<math>
−
\dot m =4\pi r^3 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
+
\dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
 
</math>
 
</math>
  
Строка 179: Строка 168:
 
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
 
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
  
−
==Вторая модель==
+
==Сублимация льда с комет==
−
(Черновые тезисы)
+
[http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/AKO/ch51.html]
−
 
 
−
 
 
−
* Вопрос на который должна дать данная часть работы, можно сформулировать так: "Как изменится концентрация испарившихся молекул после прохождения через испаряющейся участок пылевого облака"
 
−
 
 
−
* Работа состояла из двух частей: Компьютерного 2D моделирования эксперимента и поиска аналитического решения.
 
−
 
 
−
* Эксперимент и аналитика дали хорошее совпадение результатов. Рисунки представлены ниже.
 
−
 
 
−
[[Файл: Nonrad.png|thumb|left|490px|рис. 1. Прохождение "лучей" через неиспаряющееся облако.]]
 
−
 
 
−
[[Файл: Radiation.png|thumb|right|490px|рис. 2. Прохождение "лучей" в испаряющемся облаке.]]
 
−
 
 
−
[[Файл: Summ.png|thumb|left|490px|рис. 3. Сумма двух вкладов.]]
 
−
 
 
−
[[Файл: lengh.png|thumb|right|490px|рис. 4. Эта зависимость от расстояния при заданной концентрации.]]
 
−
 
 
−
== Об аналитическом решении==
 
−
 
 
−
Чтобы найти закон распространения радиационного излучения в облаке, воспользуемся простой моделью. Некоторый объём пространства 
 
−
представим в виде цилиндра с основанием <math>H</math> и длиной <math>L</math>. В этом цилиндре находятся частицы-сферы радиуса r.
 
−
 
 
−
Пусть, перпендикулярно основанию в цилиндр, по прямым траекториям входят N лучей радиационного излучения. Рассматривается случай, когда нет никаких отражений, т.е. луч упавший на сферу, ей тотчас поглощается.
 
−
 
 
−
Наша задача ответить на вопрос: сколько в среднем лучей достигнет противоположной стенки цилиндра?
 
−
 
 
−
Эта задача равносильна следующей: На некоторой поверхности <math>H</math> нанесена в случайном месте точка. На поверхность набрасываются случайным образом <math>N</math> окружностей площадью <math>S</math> <math>(S=\pi r^2)</math>. Какова вероятность того, что точка останется непокрытой? Будем решать её.
 
−
 
 
−
Ответ легко получить из закона распределения Пуассона.
 
−
 
 
−
Для начала-формальное определение:
 
−
 
 
−
Пусть производится <math>n</math> независимых испытаний. Если число испытаний <math>N</math> достаточно велико, а вероятность появления события <math>А</math> в каждом испытании мало (<math>p\in(0,1)</math>), то вероятность появления события <math>А</math> <math>k</math> раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение <math>np</math> сохраняет постоянное значение: <math>np=\lambda</math>  Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном <math>N</math>) остается неизменным.
 
−
 
 
−
<math>P_n(k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
Очевидно, что вероятность того, что точка покроется одной окружностью есть отношение площадей окружности и поверхности:<math>p=\frac{S}{H}</math>. Тогда для <math>N</math> окружностей эта вероятность: <math>\lambda=\frac{n\cdot S}{H}</math>
 
−
 
 
−
Вероятность, что точка будет покрыта ровна <math>к</math> окружностями из <math>n</math> даёт формула Пуассона.
 
−
 
 
−
Нас интересует случай, когда <math>k=0</math>. Случай когда точка не покрылась ни одной окружностью, т.е. случай, когда луч прошёл через цилиндр со сферами ни встретив ни одну на своём пути.
 
−
 
 
−
Подставляя <math>k=0</math>, в формулу Пуассона, находим <math>P_n(0)=e^{-\lambda}</math>. Тогда из <math>N</math> лучей в среднем пройдёт
 
−
 
 
−
<math>N_{ex}=N\cdot e^{-\lambda}=N\cdot e^{-\frac{n\cdot S}{H}}</math> .......................................(1)
 
−
 
 
−
лучей.
 
−
 
 
−
Зависимость числа пройдённых лучей от концентрации в некотором объёме проиллюстрирована на рис. 1.
 
−
 
 
−
Теперь рассмотрим другую ситуацию.
 
−
 
 
−
Тот же объём и те же шарики. Но теперь радиационное излучение не падает на стенки цилиндра, а каждый шарик излучает в произвольном направлении луч. Спрашивается, сколько лучей пройдёт через основание цилиндра?
 
−
 
 
−
Сперва откажемся от требования произвольности направления излучения. Пусть луч выходит из центра шарика в направлении основания <math>H</math>. Тогда для луча с шарика, находящегося на расстоянии <math>x</math> от поверхности <math>H</math>, вероятность прохожднения через оставшейся объём одного луча есть
 
−
 
 
−
<math>N_j^{*}=e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}}</math>.................................................................(2)
 
−
 
 
−
где <math>L</math> это длинна цилиндра. Соответственно, если излучается <math>I</math> лучей, то последнее выражение надо умножить на <math>I</math>.
 
−
 
 
−
Чтобы найти количество лучей вышедших из бесконечно тонкого объёма, параллельного <math>H</math>, и находящегося на расстоянии <math>x</math>, очевидно необходимо (2) умножить на <math>N/L</math>.
 
−
 
 
−
Для всех шариков в цилиндре:
 
−
 
 
−
<math>N_j=\frac{N\cdot I}{L}\int_{0}^{L}  e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}} dx =\frac{N\cdot I\cdot H}{n\cdot S}(1-e^{-\frac{n\cdot S}{H}} ) </math>.................................................(3)
 
−
 
 
−
Для того, чтобы учесть случайность направления луча, следует выражение (3) умножить на вероятность того, что луч попадёт в угловой сегмент с основанием  <math>H</math> и вершиной в центре частички.
 
−
 
 
−
Иллюстрацию этого закона можно видеть на рис. 3.
 
−
 
 
−
К сожалению, это выражение столь сложно, что интеграл "руками" не берётся. Поэтому проводилось только численное интегрирование.
 
−
 
 
−
<math>N_j=\int_0^l I\cdot n\cdot \left(2\cdot arctg(\frac{H}{x})\cdot H- x\cdot ln(1+\frac{H^2}{x^2})\right)\cdot exp(-n \cdot S \cdot x)</math>......................................................(4)
 
−
 
 
−
, где <math>n</math>-концентрация пылинок
 
−
 
 
−
<math>I</math>- интенсивность испарения.
 
−
 
 
−
== Оценки для устойчивости==
 
−
 
 
−
Две частицы в протопланетном облаке взаимодействуют по средством гравитации и радиационного излучения, вызванного испарением частицы.
 
−
 
 
−
Сила гравитационного притяжения:
 
−
 
 
−
<math>F_g=G\frac{m^2}{r^2}=\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 r^2}</math>.......................................(5)
 
−
 
 
−
Сила радиационного отталкивания в пустом пространстве есть
 
−
 
 
−
<math>F_v=\frac{N m_0 v r_p^2}{4 r^2} </math>
 
−
 
 
−
При выводе этой формулы, столкновения между молекулами не учитывалось.
 
−
 
 
−
Если ввести
 
−
 
 
−
<math>Nm_0=4\pi r_p^2 \nu</math>- количество массы испаряющееся с пылинки за единицу времени (величина независящая от размеров частицы), то предыдущая формула перепишется, как
 
−
 
 
−
<math>F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 }{4 r^2} </math>..................................................................(6)
 
−
 
 
−
<math>k=\frac{f_v}{f_g}= \frac {9\nu v}{16\pi G r_p^2 \rho^2} </math>
 
−
 
 
−
При <math>k=1</math>, силы газодинамического отталкивания, полностью уравновешивают силу гравитационного притяжения (рис.5).
 
−
 
 
−
 
 
−
Для пространства заполненного другими частицами, создающими экранирующий эффект
 
−
 
 
−
 
 
−
<math>F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{r^2}</math>..................................................................(7)
 
−
 
 
−
,Где <math>n</math>-концентрация пылинок в рассматриваемом объёме.
 
−
 
 
−
При равенстве этих сил облако будет находиться в равновесии.
 
−
 
 
−
Между тем, понятно, что при любой, отличной от нуля концентрации и при любом, отличном от нуля размере пылинок будет присутствовать эффект экранирования. Взаимодействие далёких частиц будут всё более отходить от закона обратных квадратов.
 
−
 
 
−
Будем считать, что облако может находиться в равновесии, если отношение сил радиационного отталкивания и гравитационного притяжения меньше одного процента.
 
−
 
 
−
<math>k=\frac{F_v}{F_g}\le 0.99\%</math> ....................................................(8)
 
−
 
 
−
<math>k=\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\pi\nu v \cdot exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{16 \pi^2 G r_p^2\rho^2 }</math>
 
−
 
 
−
Среднею скорость примем равной среднему значению модуля скорости идеального газа:
 
−
 
 
−
<math>v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi}}</math>
 
−
 
−
Радиус облака равен среднему расстоянию между Землёй и Луной ( <math>L=3,84\cdot 10^{10}</math> см ).
 
−
 
−
Пусть на расстоянии <math>2L</math> выполняется условие (8).
 
−
 
 
−
Если принять <math><math>k=\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\pi\nu v }{16 \pi^2 G r_p^2\rho^2 } =1 </math>, то значит
 
−
</math>, то <math> exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot 2L)=0.99</math>
 
−
 
 
−
Следовательно:
 
−
 
 
−
<math> n \cdot \pi r_p^2 \cdot 2L=-ln(0.99)=0.01 => n \cdot \pi r_p^2=2.6*10^{-13} </math>
 
−
 
 
−
Тогда построим зависимость концентрации от площади, при условии сохранения постоянным их произведения.
 
−
 
 
−
 
 
−
[[Файл:res1.png|800px|thumb|left|рис.5]]
 
−
 
 
−
Радиус порядка <math>10^(-6)</math> см, всего в 100 раз больше характерных размеров молекул водяного пара.
 
−
 
 
−
На рис. 6 приведена зависимость времени жизни частицы от радиуса. Интенсивность испарения расчитыалась из предпосылки исходного равновесия облака.
 
−
 
 
−
[[Файл:Time.png|800px|thumb|left|рис.6]]
 
−
 
 
−
На рис. 7 Масса протопланетного облака от размеров частиц. То что она растёт линейно, не удивительно. Ибо масса частиц хоть и увеличивается как куб радиуса, зато их концентрация падает, как квадрат их радиуса.
 
−
 
 
−
Значение Итоговой Массы в <math>10^{14}/math> много меньше массы Земли (<math>10^{24}</math>)
 
−
 
 
−
С другой стороны понятно, что требовать, чтобы каждая частица взаимодействовала с каждой, глупо, так как на больших расстояниях случайные флуктуации космологических факторов (давление света, плотность газа, случайные грав. сгустки.) будут оказывать на частицы большее воздействие.
 
−
Поэтому необходимо ввести радиус обрезания грав. сил.
 
−
 
 
−
Чтоб решить эту проблему пойдём от обратного. Предположим помимо устойчивости облака то, что его масса порядка 1/10 массы системы Земля-Луна <math>6.05*10^{27}</math> грамм, то есть <math>6*10^{26}{</math> грамм.
 
−
 
 
−
Отсюда, произведение концентрации на массу частицы есть отношение Массы облака к его объёму.
 
−
 
 
−
<math>n\cdot m=M/V=\frac{6\cdot 10^{26}}{4/3 \pi R^3}</math>
 
−
 
 
−
Подстановка значений даёт:
 
−
 
 
−
<math>n\cdot m=n*m \frac{g}{sm^3}</math>...............................................(9)
 
  
 +
"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния
  
−
Задача состоит в том, чтобы найти такой радиус обрезания <math>l</math> рассматриваемых сил, чтобы выполнялось (9). Коэффециент <math>k=0.99</math> оставим без изменения.
+
<math>Z=Z_0 g(r)</math>
  
−
<math>n\cdot m=\frac{-ln(0.99)}{\pi r_p^2 \cdot l}\cdot \frac{4\pi r_p^3}{3}=\frac{-4 ln(0.99)\cdot r_p}{3\cdot l}</math>
+
<math>g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m}  \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k}   </math>
  
−
Таким образом:
+
где <math>Z_0</math> - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.
  
−
<math>l=\frac{-ln(0.99)\cdot 4 \cdot r_p}{18\cdot 10^{26}} \rightarrow l=2.2\cdot 10^{-29} r </math>
+
А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek \cdot sm^2}</math>, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: <math>r_0 = 2.808</math> a.e.,<math>m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.</math> "
  
−
==Ссылки по теме==
 
  
 +
Значение <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek^1 sm^2}</math>, можно принять за исходное в данной модели.
  
−
* [http://www.spacetelescope.org/news/heic0917/ Снимки зарождающихся планетных систем в туманности Ориона, полученные космическим телескопом Хаббл]
+
== См. также ==
−
* [[А. Мурачев]]. '''Некоторые замечания по модели образования системы Земля-Луна в результате ротационного коллапса  газопылевого облака (черновые наброски)'''. Скачать презентацию, pptx: [http://195.209.230.53:8088/Presentations/Student_seminar/2011_10_21_Murachev.pptx 2741 kb]
 
  
 +
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
 +
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3|Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3]]
  
 
[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
 
[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
 
[[Category: Студенческие проекты]]
 
[[Category: Студенческие проекты]]

Текущая версия на 21:04, 10 мая 2015

Проект выполняет Мурачёв Андрей, научный руководитель А.М.Кривцов.

Введение к первой модели[править]

Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает [math]10^{-18} g/cm^3[/math], размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. Далее планируется их все,по возможности, учесть. В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

Диффузия от точечного стационарного источника[править]

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией [math]w[/math], Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью [math]\dot N[/math] (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).

В случае отсутствия рассеяния уравнение для концентрации [math]n[/math]

[math] (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r) [/math]

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N[/math]

[math](3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

При наличии рассеяния:

[math] (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r) [/math]

[math]D[/math]-коэффициент диффузии.

[math] (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N [/math]

[math] (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D} [/math]

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению

[math](7):D=\frac{1}{3} \lambda v[/math],

где [math]\lambda[/math]-длинна свободного пробега, а [math]v[/math]- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать

[math](8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}[/math]

[math]d[/math]-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя [math]\xi_D[/math], который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

[math](9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v[/math],

где [math] \xi_D=1.5\div 2.2[/math]

Литература:

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [1]

Случай дискообразного протопланетного облака[править]

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону [math]\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}[/math]. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью [math]\dot N[/math]. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.

[math]n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}[/math]

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии [math]r[/math] от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма [math]dxdydz[/math], расположенного на расстоянии [math]x[/math] от центра диска будет равен

[math]n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}[/math],

где [math][x,r][/math] расстояние между [math]r[/math] и [math]x[/math], а элемент объёма [math]dV=2\pi x dx d\alpha[/math]

Проинтегрировав по всем [math]x[/math], мы найдём концентрацию в точке [math]r[/math].

[math]n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}[/math]

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при [math]r=0[/math], он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

[math]\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)[/math]

Уравнение равновесия.[править]

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.

[math]{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}[/math]

[math]\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}[/math]

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.

Где, [math]m(r)[/math]-масса протопланетного диска радиуса [math]r[/math]


Испарение пылинок в вакуум[править]

Интенсивность испарения в вакууме [[math]g/cm^2\cdot sek[/math]] определяется формулой Ленгмюра.

[math] \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}} [/math] , где

[math]p^*[/math]-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

[math]\mu[/math]-молекулярная масса вещества

[math]T[/math]-Температура облака, K.

Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

см также [2]


[math] \dot m =4\pi r^2 \nu =\gt \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 =\gt \dot r = \frac{\nu}{\rho} [/math]

Отсюда "время жизни" [math]t_l=\frac{r \rho}{\nu}[/math], для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна [math] 4.4 \cdot 10^{-5}[/math] сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки [math]t_l[/math] должно быть больше времени свободного пробега [math]\tau[/math] этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

[math]\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}[/math] ,

где

[math]v[/math]- средняя скорость пылинок,

[math]d[/math] -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с выражением для "времени жизни" пылинки находим

[math]d^3\gt \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}[/math]

Давление насыщенного пара воды при [math]30^o C[/math] равно 4.2455 кПа.

Плотность льда равна 0,917 г/см³

Молекулярная масса воды равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

Сублимация льда с комет[править]

[3]

"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния

[math]Z=Z_0 g(r)[/math]

[math]g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m} \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k} [/math]

где [math]Z_0[/math] - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.

А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek \cdot sm^2}[/math], а для остальных постоянных им найдены следующие значения: [math]r_0 = 2.808[/math] a.e.,[math]m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.[/math] "


Значение [math]Z = 3\times 10^{17}[/math] [math]\frac{mol}{sek^1 sm^2}[/math], можно принять за исходное в данной модели.

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Устойчивость_протопланетного_облака_системы_%22Земля_-_Луна%22&oldid=33414»