Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Проект выполняет [[Мурачёв Андрей]], научный руководитель [[А.М.Кривцов]].

==Введение к первой модели ==
Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает  
<math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске.

Современные астрофизические модели химической конденсации предполагают, что исходный состав протопланетного облака был близок к составу межзвездной среды и Солнца: по массе до 75% водорода, до 25% гелия и менее 1% всех прочих элементов.

Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К.

Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели.
Далее планируется их все,по возможности, учесть. 
В частности:

1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением.

2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда.

4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.

==Диффузия от точечного стационарного источника==

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы). 

'''В случае отсутствия рассеяния''' уравнение для концентрации <math>n</math>

<math>
(1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
</math>

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

<math>(2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math>

<math>(3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>

''' При наличии рассеяния:'''

<math>
(4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r)
</math>

<math>D</math>-коэффициент диффузии.

<math>
(5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
</math>

<math>
(6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
</math>

Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению 

<math>(7):D=\frac{1}{3} \lambda v</math>, 

где <math>\lambda</math>-длинна свободного пробега, а <math>v</math>- средняя скорость частиц.

В первом приближении можно считать 

<math>(8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}</math> 

<math>d</math>-диаметр молекулы.

В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя <math>\xi_D</math>, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа

<math>(9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v</math>, 

где <math> \xi_D=1.5\div 2.2</math>

'''Литература:'''

Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия". 

Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [http://snvs.ru/knigi/61-texnika-vysokogo-vakuuma-ya-groshkovskij-1975g.html]

==Итоги==

Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:

<math>
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
</math>

, где <math>n(r,t)</math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии <math>r</math> от излучающей частицы в некоторый момент времени <math>t</math>, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для <math>D</math> можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n\sigma_{n}</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек].

Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.

<math>
-D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N              
</math>

Проинтегрируем по <math>r</math> и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <math>n</math> распределена по пространству таким вот образом:

<math>
n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0....................[1]           
</math>

==Случай дискообразного протопланетного облака==

Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону <math>\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}</math>. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.

Какждая частица испаряется с интенсивностью <math>\dot N</math>. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)

Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.

Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.
 
<math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>

Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии <math>r</math> от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки  элементарного объёма <math>dxdydz</math>, расположенного на расстоянии <math>x</math> от центра диска будет равен

<math>n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}</math>,

где <math>[x,r]</math> расстояние между <math>r</math>  и <math>x</math>, а элемент объёма <math>dV=2\pi x dx d\alpha</math>

Проинтегрировав по всем <math>x</math>, мы найдём концентрацию в точке <math>r</math>.

<math>n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}</math>

В элементарных функциях интеграл не берётся.

Можно отметить, что при <math>r=0</math>, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.

<math>\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)</math>

==Уравнение равновесия.==

Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака. 

<math>{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}</math>

<math>\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}</math>

Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений. 
Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.
 
Где, <math>m(r)</math>-масса протопланетного диска радиуса <math>r</math>


==Испарение пылинок в вакуум==
Интенсивность испарения в вакууме [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой [http://kmapp.narod.ru/st004.htm Ленгмюра].

<math>
\nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}}
</math> , где

<math>p^*</math>-давление насыщенного пара данного вещества, Па.

<math>\mu</math>-молекулярная масса вещества

<math>T</math>-Температура облака, K.

Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.

см также [http://www.emalko.ru/opredelenie-skorosti-ispareniya-i-otnositel-noj-letuchesti/]


<math>
\dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
</math>

Отсюда "время жизни" 
<math>t_l=\frac{r \rho}{\nu}</math>,
для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна <math> 4.4 \cdot 10^{-5}</math> сек.

Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц.  На самом деле "время жизни" пылинки <math>t_l</math> должно быть больше [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1107.html времени свободного пробега] <math>\tau</math> этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.

<math>\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}</math> ,

где 

<math>v</math>- средняя скорость пылинок,

<math>d</math> -диаметр пылинок.

Сравнивая эту формулу с 
выражением для "времени жизни" пылинки находим

<math>d^3> \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}</math>

[http://www.fptl.ru/spravo4nik/davlenie-vodyanogo-para.html Давление насыщенного пара воды] при <math>30^o C</math> равно 
4.2455 кПа.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/Лёд Плотность льда] равна 0,917 г/см³

[http://ru.wikipedia.org/wiki/Молекулярная_масса Молекулярная масса воды] равна 18 а. е. м.

Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.

==Сублимация льда с комет==
[http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/AKO/ch51.html]

"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния

<math>Z=Z_0 g(r)</math>

<math>g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m}   \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n}  \right]^{-k}   </math>

где <math>Z_0</math> - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.

А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek \cdot sm^2}</math>, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: <math>r_0 = 2.808</math> a.e.,<math>m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.</math> "


Значение <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek^1 sm^2}</math>, можно принять за исходное в данной модели.

== См. также ==

* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3|Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3]]

[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
[[Category: Студенческие проекты]]