Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 24: Строка 24:
 
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).  
 
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).  
  
−
'''В случае отсутствия рассеяния''' уравнение для концентрации <math>n</math>
+
В случае отсутствия рассеяния уравнения для концентрации <math>n</math>^
  
 
<math>
 
<math>
−
(1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
+
\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\vartriangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
 
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
 
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
  
−
<math>(2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math>
+
<math>n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math>
  
−
<math>(3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
+
<math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
 +
 
 +
При наличии рассеяния:
 +
 
 +
<math>
 +
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle = \dot N\delta^3(r)
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
 +
</math>
 +
 
 +
==Итоги==
  
−
''' При наличии рассеяния:'''
+
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
 +
Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии:
  
 
<math>
 
<math>
−
(4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r)
+
\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r)
 
</math>
 
</math>
  
−
<math>D</math>-коэффициент диффузии.
+
, где <math>n(r,t)</math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии <math>r</math> от излучающей частицы в некоторый момент времени <math>t</math>, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для <math>D</math> можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n\sigma_{n}</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек].
 +
 
 +
Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции.
  
 
<math>
 
<math>
−
(5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
+
-D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N            
 
</math>
 
</math>
 +
 +
Проинтегрируем по <math>r</math> и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <math>n</math> распределена по пространству таким вот образом:
  
 
<math>
 
<math>
−
(6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
+
n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0....................[1]         
 
</math>
 
</math>
  
−
Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению
+
==Случай дискообразного протопланетного облака==
 +
Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой  [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G).
 +
 
 +
<math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности.
 +
 
 +
<math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math>
 +
 
 +
Смотри рисунок  '''internal.'''
 +
[[Файл: internal.jpg|thumb|right|540px|internal]]
 +
 
 +
Легко сообразить для левой полуокружности:
  
−
<math>(7):D=\frac{1}{3} \lambda v</math>,
+
<math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math>
  
−
где <math>\lambda</math>-длинна свободного пробега, а <math>v</math>- средняя скорость частиц.
+
и
  
−
В первом приближении можно считать
+
<math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math>
  
−
<math>(8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}</math>
+
для правой.
  
−
<math>d</math>-диаметр молекулы.
+
Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается.
  
−
В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя <math>\xi_D</math>, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа
 
  
−
<math>(9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v</math>,
+
<math>n(r)_{internal}=2\int_0^r da \left(
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
  
−
где <math> \xi_D=1.5\div 2.2</math>
 
  
−
'''Литература:'''
+
Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G .
 +
Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать
 +
[[Файл: external.jpg|thumb|right|540px|external]]
  
−
Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".
+
<math>n(r)_{internal}=2\int_r^R da \left(
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
  
−
Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [http://snvs.ru/knigi/61-texnika-vysokogo-vakuuma-ya-groshkovskij-1975g.html]
 
  
−
==Случай дискообразного протопланетного облака==
+
Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет
  
−
Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону <math>\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}</math>. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.
 
  
−
Какждая частица испаряется с интенсивностью <math>\dot N</math>. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)
 
  
−
Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.
+
<math>n(r)=n(r)_{external}+n(r)_{internal}=</math>
  
−
Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.
 
−
 
−
<math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
 
  
−
Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии <math>r</math> от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки  элементарного объёма <math>dxdydz</math>, расположенного на расстоянии <math>x</math> от центра диска будет равен
+
<math>2\int_0^R da \left(
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+
 +
\int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha
 +
\frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math>
  
−
<math>n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}</math>,
+
[[Файл:Points.png|600px|thumb|right|concentration]]
  
−
где <math>[x,r]</math> расстояние между <math>r</math>  и <math>x</math>, а элемент объёма <math>dV=2\pi x dx d\alpha</math>
+
Значение концентрации пылинок
  
−
Проинтегрировав по всем <math>x</math>, мы найдём концентрацию в точке <math>r</math>.
+
<math>w(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math>
  
−
<math>n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}</math>
+
Задача свелась к вычислению данных интегралов.
  
−
В элементарных функциях интеграл не берётся.
 
  
−
Можно отметить, что при <math>r=0</math>, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.
 
  
−
<math>\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)</math>
+
Но этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Поэтому он был вычислен численно. На рисунке concentration, изображен результат численного интегрирования. Здесь <math>R=1</math>, и константа перед интегралом тоже взята за 1 (Точный вид этой константы зависит от константы диффузии <math>D</math>).
 +
Что удивительно, при <math>r=R</math>, значение интеграла не равно нулю. Это можно объяснить тем, что у реального протопланетного диска нет чёткой границы.
  
 
==Уравнение равновесия.==
 
==Уравнение равновесия.==
Строка 119: Строка 155:
  
 
==Испарение пылинок в вакуум==
 
==Испарение пылинок в вакуум==
−
Интенсивность испарения в вакууме [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой [http://kmapp.narod.ru/st004.htm Ленгмюра].
+
Интенсивность испарения [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой Ленгмюра.
  
 
<math>
 
<math>
Строка 132: Строка 168:
  
 
Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
 
Эта формула  выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
−
 
−
см также [http://www.emalko.ru/opredelenie-skorosti-ispareniya-i-otnositel-noj-letuchesti/]
 
−
 
  
 
<math>
 
<math>
−
\dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
+
\dot m =4\pi r^3 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
 
</math>
 
</math>
  
Строка 167: Строка 200:
  
 
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
 
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
−
 
−
==Сублимация льда с комет==
 
−
[http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/AKO/ch51.html]
 
−
 
−
"Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния
 
−
 
−
<math>Z=Z_0 g(r)</math>
 
−
 
−
<math>g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m}  \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n}  \right]^{-k}  </math>
 
−
 
−
где <math>Z_0</math> - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.
 
−
 
−
А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek \cdot sm^2}</math>, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: <math>r_0 = 2.808</math> a.e.,<math>m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.</math> "
 
−
 
−
 
−
Значение <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek^1 sm^2}</math>, можно принять за исходное в данной модели.
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
−
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
+
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2]]. (2012 г.)
−
* [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3|Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3]]
 
  
 
[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
 
[[Category: Проект "Земля - Луна"]]
 
[[Category: Студенческие проекты]]
 
[[Category: Студенческие проекты]]
Вам запрещено изменять защиту статьи. Edit Создать редактором
Шаблоны быстрого доступа

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)
Источник — «http://tm.spbstu.ru/Устойчивость_протопланетного_облака_системы_%22Земля_-_Луна%22»