Редактирование: Степанов Алексей. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 18: | Строка 18: | ||
<math>d_o</math> - начальная глубина погружения <math>\rho</math> - плотность жидкости <math>R</math> - радиус шара<br> | <math>d_o</math> - начальная глубина погружения <math>\rho</math> - плотность жидкости <math>R</math> - радиус шара<br> | ||
Второй закон Ньютона примет вид: <br> | Второй закон Ньютона примет вид: <br> | ||
+ | <math>m \ddot x = mg - \frac{\pi \rho g} {3} (d_0+x)^2 (3R-d_0-x)</math><br> | ||
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0+x)^2(3R-d_0-x)</math><br> | <math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0+x)^2(3R-d_0-x)</math><br> | ||
После возведения в квадрат получаем:<br> | После возведения в квадрат получаем:<br> | ||
Строка 23: | Строка 24: | ||
Проводим линеаризацию уравнения<br> | Проводим линеаризацию уравнения<br> | ||
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)</math><br> | <math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)</math><br> | ||
− | |||
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(3d_o^2R - d_0^3 + 6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br> | <math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(3d_o^2R - d_0^3 + 6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br> | ||
В результате имеем:<br> | В результате имеем:<br> | ||
+ | <math>m \ddot x = - \frac{\pi \rho g} {3}(6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br> | ||
<math>m \ddot x = \pi \rho g d_0(-2 R + d_0)x</math>; <br> | <math>m \ddot x = \pi \rho g d_0(-2 R + d_0)x</math>; <br> | ||
Так как <math>(-2 R + d_0) < 0</math> формула имеет вид <math>m \ddot x + \pi \rho g d_0(2 R - d_0)x = 0</math> <br> | Так как <math>(-2 R + d_0) < 0</math> формула имеет вид <math>m \ddot x + \pi \rho g d_0(2 R - d_0)x = 0</math> <br> | ||
− | Остается проверить размерность величины <math> | + | Остается проверить размерность величины <math>\frac{\pi \rho g d_0(2 R - d_0)} {m} = \frac {1} {s^2}</math> <br> |
Уравнение колебаний найдено.<br> | Уравнение колебаний найдено.<br> | ||
2) '''Вертикальные колебания параллелепипеда''' <br> | 2) '''Вертикальные колебания параллелепипеда''' <br> | ||
Строка 37: | Строка 38: | ||
Второй закон Ньютона примет вид: <br> | Второй закон Ньютона примет вид: <br> | ||
<math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br> | <math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br> | ||
− | |||
<math>m \ddot x = -\rho g S x</math><br> | <math>m \ddot x = -\rho g S x</math><br> | ||
− | Остается проверить размерность величины <math> | + | Остается проверить размерность величины <math>\frac{\rho g S} {m} = \frac {kg m^3} {s^2 m^3 kg} = \frac {1} {s^2}</math> <br> |
Уравнение колебаний найдено.<br> | Уравнение колебаний найдено.<br> | ||
2) '''Бортовая качка''' <br> | 2) '''Бортовая качка''' <br> | ||
Строка 46: | Строка 46: | ||
Меняется только точка приложения, что и создает момент силы Архимеда, вызывающий колебания. Тогда уравнения примут вид:<br> | Меняется только точка приложения, что и создает момент силы Архимеда, вызывающий колебания. Тогда уравнения примут вид:<br> | ||
<math>\Theta_c \ddot \varphi = -F_a l \cos \varphi = -F_a l</math><br> | <math>\Theta_c \ddot \varphi = -F_a l \cos \varphi = -F_a l</math><br> | ||
− | <math> | + | <math>Theta_c</math> - момент инерции тела относительно центра масс <math>F_a</math> - сила Архимеда <math>l</math> - плечо силы Архимеда<br> |
− | <math>l = h \frac {h {\rm tg}\varphi} {6 d} = = h \frac {h \varphi} {6 d} | + | <math>l = h \frac {h {\rm tg}\varphi} {6 d} = = h \frac {h \varphi} {6 d}</math><br> |
Так как тело плавает <math>F_a = mg</math><br> | Так как тело плавает <math>F_a = mg</math><br> | ||
<math>\Theta_c \ddot \varphi = -\frac {mg h^2} {6 d} \varphi</math><br> | <math>\Theta_c \ddot \varphi = -\frac {mg h^2} {6 d} \varphi</math><br> | ||
− | |||
<math>\ddot \varphi + \frac {mg h^2} {6 d\Theta_c}\varphi = 0 </math><br> | <math>\ddot \varphi + \frac {mg h^2} {6 d\Theta_c}\varphi = 0 </math><br> | ||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | 1 | + | 1) Интересно то, что <math>\frac{\rho g S} {m} = k \frac{g} {l}</math>, где l - полная высота параллелепипеда, а k - коэффициент, равный отношению плотности тела к плотности жидкости <br> |
− | + | 2) Частоты колебаний параллелепипида оказываются схожими с частотой колебаний математического маятника при вертикальной качке и с частотой колебаний физического маятника при "бортовой качке".<br> | |
− | + | Например, сравним <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {mgr}}</math> и <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {m g \frac{h} {2}} \frac {3d} {h}}</math>, <math>r</math> - расстояние от точки подвеса до центра тяжести физ. матяника, <math>d</math> - высота <math>h</math> - длина. | |
− | + | ||
− | Например, сравним <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {mgr}}</math> и <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {m g \frac{h} {2}} \frac {3d} {h}}</math>, <math>r</math> - расстояние от точки подвеса до центра тяжести физ. | ||
== Ссылки по теме == | == Ссылки по теме == |