Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Численное решение)
(top)
 
(не показано 15 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки''' <HR>
 +
 +
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 +
 +
'''Исполнитель:''' [[Иванова Яна]]
 +
 +
'''Группа:''' 43604/1
 +
 +
'''Семестр:''' осень 2018
 +
 
=Постановка задачи=
 
=Постановка задачи=
Рассматривается цепочка элементов, состоящая из одинаковых масс m. Термин одномерная цепочка означает в дальнейшем совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц P0, P1, ... Pn, ..., PN–1. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки, а также параллельных направлению цепочки внешних сил. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения un относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n).
+
Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый  атом  смещается  только  вдоль  цепочки,  что  следует  из  требования
 +
одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.
  
 
=Решение=
 
=Решение=
Рассмотрим модель колебаний одномерной многоатомной цепочки равных масс. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
 
  
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:
+
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов.
 +
Уравнение движения имеет вид:
 +
::<math>
 +
{m}\ddot{\bf U}_{i} = {С}({\bf U}_{i-1}-2{\bf U}_{i} + {\bf U}_{i+1}),
 +
</math>
 +
где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, <math> {\bf U}_{i} </math> - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени.
  
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
+
Период одного колебания:<math> {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} </math>
 +
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости.
  
 
=Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта=
 
=Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта=
Строка 16: Строка 32:
  
 
Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.
 
Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.
 +
  
 
=Численное решение=
 
=Численное решение=
 +
Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы.
 +
[[File:123456ддд.png|center]]
 +
Численное решение методом Верле
 +
 +
[[File:Эйлерр.png|center]]
  
[[File:верл.jpg|center]]
+
Численное решение методом Эйлера
Численное решение для 100 частиц методом Верле
 
  
[[File:эйл.jpg|center]]
+
[[File:РунгК.jpg|center]]
Численное решение для 100 частиц методом Эйлера
 
  
[[File:Рунгеее.jpg|thumb|center]]
+
Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка
  
Численное решение для 100 частиц методом Рунге-Кутта 4 порядка
+
=Результаты=
 +
Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков.

Текущая версия на 11:59, 15 марта 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Сравнение методов интегрирования уравнений динамики цепочки

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Иванова Яна

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассматривается одномерная цепочка элементов, состоящая из частиц с одинаковыми массами m. Термин "одномерная цепочка" означает совокупность расположенных вдоль прямой линии N материальных частиц.. Рассматриваются продольные колебания образующих цепочку частиц под действием сил взаимодействия между частицами цепочки. Движение частицы с номером n описывается зависимостью от времени t её смещения относительно положения равновесия этой частицы (узла цепочки с номером n). Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.

Решение[править]

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Уравнение движения имеет вид:

[math] {m}\ddot{\bf U}_{i} = {С}({\bf U}_{i-1}-2{\bf U}_{i} + {\bf U}_{i+1}), [/math]

где С - жёсткость одной пружинки, m - масса одной частицы, [math] {\bf U}_{i} [/math] - перемещение частицы, a - расстояние между двумя соседними частицами в начальный момент времени.

Период одного колебания:[math] {T}_{o} = 2{\pi}\sqrt\frac {m}{C} [/math] В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости рандомным образом. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Полная энергия системы складывается из потенциальной энергии взаимодействия частиц и их кинетической энергии в каждый момент времени. В циклах для потенциальной и кинетической энергий рассчитываются эти значения. Далее производится нормировка, энергии складываются и строится график зависимости.

Методы Верле, Эйлера и Рунге-Кутта[править]

Метод Эйлера - простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, так называемой ломаной Эйлера.

Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Среди наиболее известных методов интегрирования уравнений движения можно выделить алгоритм Верле. Рассмотрим построение алгоритма Верле, для простоты, в одномерном виде. Основная идея алгоритма Верле состоит в записи разложения положения частицы.


Численное решение[править]

Построим графики зависимости безразмерной энергии от безразмерного времени для 100000 частиц с шагом по времени dt = 0.01 и 5000 шагов интегрирования. По оси абсцисс откладывается время, отнесенное к периоду, по оси ординат - энергия, отнесенное к начальной энергии системы.

123456ддд.png

Численное решение методом Верле

Эйлерр.png

Численное решение методом Эйлера

РунгК.jpg

Численное решение методом Рунге-Кутта 4 порядка

Результаты[править]

Метод Верле является симплектическим, то есть сохраняющим энергию с течением времени. Это можно проследить из графика, безразмерная энергия колеблется в пределах единицы. Методы Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка энергию не сохраняют, что заметно из возрастания графиков.