Редактирование: Сиситема груза и блоков
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | '''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать систему блоков с грузом. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== Решение == | == Решение == | ||
| Строка 11: | Строка 8: | ||
'''''Решение:''''' | '''''Решение:''''' | ||
| − | Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: | + | Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: |
| − | |||
<math> dT=\Sigma dA^{(e)}_k+ \Sigma dA^{(i)}_k </math> | <math> dT=\Sigma dA^{(e)}_k+ \Sigma dA^{(i)}_k </math> | ||
| − | |||
Кинетическая энергия системы | Кинетическая энергия системы | ||
| − | + | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2 + \frac{M_3v^2}{2} + \frac{M_3r^2}{4}(\frac{v}{r})^2+\frac{M-2v^2}{2}=\frac{v^2}{2}(M_1+M_2+2M_3)</math> | |
| − | <math> T=T_A+T_B+T_C+T_{каната}=\frac{M_1v^2}{2}+\frac{M_3r^2}{4} | ||
| − | |||
В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | В вычислениях учли отсутствие скольжения катка <math> C </math> (точка касания <math> P </math> - мгновенный центр скоростей катка). | ||
| − | |||
Дифференциал кинетической энергии | Дифференциал кинетической энергии | ||
| − | |||
<math> dT = (M_1+M_2+2M_3)vdv. </math> | <math> dT = (M_1+M_2+2M_3)vdv. </math> | ||
| − | |||
Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза <math> A </math>: | Суммарная элементарная работа внутренних и внешних сил сводится в работе силы тяжести груза <math> A </math>: | ||
| − | |||
<math> dA(M_1\vec{g})=M_1gdy; </math> | <math> dA(M_1\vec{g})=M_1gdy; </math> | ||
| − | |||
работе силы тяжести каната: | работе силы тяжести каната: | ||
| − | |||
<math> dA(M_2\vec{g})=\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy </math> | <math> dA(M_2\vec{g})=\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy </math> | ||
| − | |||
и работе силы трения качения катка <math> C </math>: | и работе силы трения качения катка <math> C </math>: | ||
| − | |||
<math> dA(M_K)=-M_Kd\varphi=-f_KN(y)\frac{dy}{r} </math> | <math> dA(M_K)=-M_Kd\varphi=-f_KN(y)\frac{dy}{r} </math> | ||
| − | |||
В результате уравнение принимает вид | В результате уравнение принимает вид | ||
| − | |||
<math> (M_1+M_2+2M-3)vdv=M_1gdy+\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy-f_KN(y)\frac{dy}/{r}. \qquad (1) </math> | <math> (M_1+M_2+2M-3)vdv=M_1gdy+\frac{M_2}{L}(l+r+y)gdy-f_KN(y)\frac{dy}/{r}. \qquad (1) </math> | ||
| − | + | Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока <math> B </math>: | |
| − | Для определения нормальной реакции катка Т(н) воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента всей системы относительно оси вращения блока | ||
| − | <math> B </math>: | ||
| − | |||
<math> \frac{d}{dt}(K^{(A)}_{Bz}+K^{(B)}_{Bz}+K^{(C)}_{Bz}+K^{(каната)}_{Bz})=\Sigma M_{Bz}(\vec{F^{(e)}_k})\Rightarrow \frac{d}{dt}\left [ M_1vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r}+ (M_3vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r})+M_2vr\right ] = M_1gr+M_{23}gr+M{22}gBS_2\cos(\frac{\pi}{4})-M_{21}gS_1K-M_3g2S_1K+N2S_1K-M_k </math> | <math> \frac{d}{dt}(K^{(A)}_{Bz}+K^{(B)}_{Bz}+K^{(C)}_{Bz}+K^{(каната)}_{Bz})=\Sigma M_{Bz}(\vec{F^{(e)}_k})\Rightarrow \frac{d}{dt}\left [ M_1vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r}+ (M_3vr+\frac{M_3r^2}{2}*\frac{v}{r})+M_2vr\right ] = M_1gr+M_{23}gr+M{22}gBS_2\cos(\frac{\pi}{4})-M_{21}gS_1K-M_3g2S_1K+N2S_1K-M_k </math> | ||
| − | |||
Здесь масса горизонтального участка каната | Здесь масса горизонтального участка каната | ||
| − | |||
<math> M_{21}=\frac{M_2}{L}(L-l-y-\frac{\pi r}{2}); </math> | <math> M_{21}=\frac{M_2}{L}(L-l-y-\frac{\pi r}{2}); </math> | ||
| − | |||
масса участка каната, облегающего блок <math> B </math>, | масса участка каната, облегающего блок <math> B </math>, | ||
| − | |||
<math> M_{22}=\frac{M_2}{L} \frac{\pi r}{2}; </math> | <math> M_{22}=\frac{M_2}{L} \frac{\pi r}{2}; </math> | ||
| − | |||
масса вертикального участка каната | масса вертикального участка каната | ||
| − | |||
<math> M_{23}=\frac{M_3}{L}(l+y). </math> | <math> M_{23}=\frac{M_3}{L}(l+y). </math> | ||
| − | |||
Центр масс горизонтального участка каната - точка <math> S_1 </math>, причем | Центр масс горизонтального участка каната - точка <math> S_1 </math>, причем | ||
| − | |||
<math> S_1K=\frac{1}{2}(L-l-y- \frac{\pi r}{2}). </math> | <math> S_1K=\frac{1}{2}(L-l-y- \frac{\pi r}{2}). </math> | ||
| − | |||
Центр масс каната, облегающего блок <math> B </math> - точка <math> S_2 </math>, такая, что | Центр масс каната, облегающего блок <math> B </math> - точка <math> S_2 </math>, такая, что | ||
| − | |||
<math> BS_2=\frac{r\sin(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2sqrt{2}r}{\pi}. </math> | <math> BS_2=\frac{r\sin(\frac{\pi}{4})}{\frac{\pi}{4}}=\frac{2sqrt{2}r}{\pi}. </math> | ||
| − | |||
После преобразований получим: | После преобразований получим: | ||
| − | |||
<math> \frac{dv}{dt}(M_1+M_2+2M_3)=M_1g+\frac{M_2}{L}g(l+r+y)-\frac{M_2}{L}g\frac{1}{2r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})^2-M_3g\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})+M\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})-N\frac{f_K}{r}. \qquad (2) </math> | <math> \frac{dv}{dt}(M_1+M_2+2M_3)=M_1g+\frac{M_2}{L}g(l+r+y)-\frac{M_2}{L}g\frac{1}{2r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})^2-M_3g\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})+M\frac{1}{r}(L-l-y-\frac{\pi}{2})-N\frac{f_K}{r}. \qquad (2) </math> | ||
| − | |||
Из полученного уравнения (2) выразим <math> N(y) </math>: | Из полученного уравнения (2) выразим <math> N(y) </math>: | ||
| − | |||
<math> N(y) = \frac{\dot v ar - M_1gr - \frac{M_2}{r}gbr+\frac{M_2}{L}g\frac{c^2}{2}+M_3gc}{c-f_K}, </math> | <math> N(y) = \frac{\dot v ar - M_1gr - \frac{M_2}{r}gbr+\frac{M_2}{L}g\frac{c^2}{2}+M_3gc}{c-f_K}, </math> | ||
| − | |||
где | где | ||
| − | |||
<math> a = M_1+M_2+3M_3, b = l+y+r, c=L-l-y-\frac{\pi r}{2}. </math> | <math> a = M_1+M_2+3M_3, b = l+y+r, c=L-l-y-\frac{\pi r}{2}. </math> | ||
| − | |||
Подставим <math> N(y) </math> в уравнение (1): | Подставим <math> N(y) </math> в уравнение (1): | ||
| − | |||
<math> avdv=M_1gdy+ \frac{M_2}{L}bgdy-\frac{f_k}{r}\frac{\dot{v}ar}{c-f_k}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_1gr}{c-f_K}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_2gbr}{L(c-f_K)}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_2gc^2}{L(c-f_K)2}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_3gc}{c-f_k}dy. </math> | <math> avdv=M_1gdy+ \frac{M_2}{L}bgdy-\frac{f_k}{r}\frac{\dot{v}ar}{c-f_k}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_1gr}{c-f_K}dy+\frac{f_K}{r}\frac{M_2gbr}{L(c-f_K)}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_2gc^2}{L(c-f_K)2}dy-\frac{f_K}{r}\frac{M_3gc}{c-f_k}dy. </math> | ||
Разделим левую и правую части на <math> dt </math> и сократим все слагаемые на <math> v </math>. Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на <math> (c-f_K) </math>, получим: | Разделим левую и правую части на <math> dt </math> и сократим все слагаемые на <math> v </math>. Далее после несложных преобразований и умножения левой и правой частей на <math> (c-f_K) </math>, получим: | ||
| − | + | <math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\frca{bc}{f_K})-M_3g\frac{f_kc}{r} </math> | |
| − | <math> \dot{v}ac=M_1gc+\frac{M_2gf_k}{L}(-\frac{c^2}{2r}+\ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
