Редактирование: Решение задач механики сплошной среды для слоистых структур

'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Марков Николай | Марков Николай]]<br>
''Научный руководитель'': [[А.М. Линьков]]<br>

==Введение==
Исследование слоистых структур имеет важное значение для задач теории упругости, механики материалов, теории поля и механики грунтов. Например, учет слоистости горной породы может увеличить точность получаемых результатов при численном моделировании распространения трещины гидроразрыва (ГРП).

Существует два основных подхода к решению задач для слоистых структур. Оба подхода используют геометрическую особенность слоистой структуры: слои представляют собой систему типа цепочки. Первый подход основан на использовании метода матричного переноса и его модификаций. Суть данного метода заключается в переносе значений усилий и смещений (или их линейной комбинации), заданных на границе между слоями, на соседнюю границу. Основной недостаток данного подхода состоит в физической некорректности одновременного переноса значений смещений и усилий, что ведет к низкой обусловленности квадратных матриц, используемых для связи значений на соседних границах. С увеличением числа слоев в рассматриваемой структуре это приводит к неустойчивости решения и увеличению ошибки.

В своих работах Р.М.Раппапорт впервые сводит решение задачи для слоистой структуры к решению трехточечных разностных уравнений. Такой подход позволяет использовать детально изученную теорию разностных уравнений и эффективные численные методы их решения. Для получения связи усилий и смещений на границах слоев в работах Р.М.Раппапорт используется Фурье преобразование. 

Подробное сравнение основных методов решения задач для слоистых структур представлено в работе А.М.Линькова и Н.А.Филиппова в которой показано, что наиболее эффективный метод решения состоит в сведении исходной задачи к решению трехточечных разностных уравнений. В качестве численного метода решения предлагается использовать устойчивый и эффективный метод прогонки. В отличие от метода матричного переноса, метод прогонки не теряет устойчивость при увеличении числа слоев.

Особый интерес представляет исследование слоистой среды, содержащей неоднородности. Решение такой задачи можно получить с использованием метода граничных элементов (МГЭ), или метода конечных элементов (МКЭ). Использование МКЭ приводит к ряду сложностей, таких как высокий порядок конечной алгебраической системы, учет точек сингулярностей и разрывов. Применение МКЭ приводит также к трудностям при рассмотрении очень тонких слоев, так как необходимое сгущение сетки приводит к заметному увеличению порядка конечной алгебраической системы.

Наиболее оптимальным методом решения линейных задач для слоистых структур с неоднородностями является метод граничных элементов, включающий в себя нахождение функции Грина для слоистой структуры без неоднородностей. Такой подход позволяет свести решение исходной задачи к решению интегральных уравнений с синугулярными и гиперсингулярными ядрами, заданных только на границах неоднородностей. В результате, порядок конечной алгебраической системы равен суммарному числу узлов на границах неоднородностей.

Цель данной работы состоит в эффективной численной реализации алгоритма решения задач для слоистых структур с неоднородностями, и исследовании его ключевых особенностей. Эффективность численного алгоритма достигается благодаря двум важнейшим факторам:

*Геометрическая особенность слоистой структуры позволяет применять эффективный метод прогонки для нахождения решения. Использование метода прогонки приводит к  существенному уменьшению количества операций, необходимых для получения решения(<math>O(n)</math> вместо <math>O(n^3)</math>  для метода Гаусса.)

*Рассматриваемые уравнения линейные, а границы слоев плоские и параллельные. Эти два условия позволяют применять преобразование Фурье. В численной реализации использование быстрого преобразования Фурье приводит к уменьшению количества операций и времени расчета (вместо <math>O(n^2)</math> проводится только <math>O(n\ln (n))</math> операций).

Большой практический интерес также представляют:

*Точность численного нахождения функции Грина слоистой среды

*Особенности использования дискретного преобразования Фурье

*Исследование логарифмической особенности функции Грина

==Постановка задачи==
Рассмотрим систему, состоящую из <math>n</math> слоев с плоскими параллельными границами. Каждый слой может иметь поры и трещины. Пронумеруем слои снизу вверх от <math>1</math> до <math>n</math>, а их границы от <math>0</math> до <math>n</math>. Оси <math>x_2</math> и <math>x_3</math> декартовой системы координат направим вдоль границ слоев в горизонтальной плоскости, а ось <math>x_1</math> -- перпендикулярно вверх по направлению нормали к границам слоев. Величины, относящиеся к <math>i</math>-ому слою или контакту будем обозначать индексом <math>i</math>. Индексом 't' ('b') будем обозначать значения на верхней (нижней) границе слоя. Тогда для смещений, испытывающих разрыв на <math>i</math>-ой границе,  <math>\Delta  u^i =  u^i_{t} -  u^{i+1}_{b}</math>.
Для системы слоев справедливо уравнение:

<math>
 L^i u = 0 ~~~(i = 1,. . .,n)
</math>

где <math>L^i</math> - линейный дифференциальный оператор для <math>i</math>-ого слоя. В качестве <math>L</math> может использоваться, например, оператор Ляме или оператор Лапласа.
Условие равновесия на границах имеет вид:

<math>
  q^i_t = q^{i+1}_b = q^i  ~~~(i = 1,. . .,n - 1)
</math>

где  <math>q^i</math> -- усилие на <math>i</math>-ой границе в направлении оси <math>x_1</math>.
Если на границах некоторых пор или трещин заданы усилия <math>q^0</math>, то:

<math>
  q = q^{0}
</math>

Контактное взаимодействие на <math>i</math>-ой границе определяется соотношением:

<math>
 -\Delta u^i = A_c^i q^i
</math>

где <math>A_c^i</math> - заданная матрица контактного взаимодействия на границе между <math>i</math> и <math>i+1</math> слоем. В случае идеального контакта на <math>i</math>-ой границе <math>A_c^i = 0</math> и <math>\Delta u^i = 0</math>.
На границах пор и трещин задаются неоднородные граничные условия:

<math>
 -\Delta u = B_c  q + \Delta  u^0
</math>

где <math>B_c</math> и <math>\Delta u^0</math> - заданная симметричная матрица и заданный вектор разрыва смещений на границе пор(трещин) и среды.

Главная задача состоит в нахождении напряжений и смещений в слоистой структуре с неоднородностями.
==Метод решения==
Метод решения поставленной задачи основан на геометрической особенности системы слоев с плоскими параллельными границами: слои являются системой типа цепочки. Таким образом, исходная задача сводится к решению методом прогонки системы разностных уравнений.

Исходную задачу легко свести к уравнениям, заданным только на поверхностях пор и трещин, если известна функция Грина <math>U(x,y)</math> для слоистой структуры без неоднородностей, удовлетворяющая уравнению:

<math>
 L^i U(x,y) = -\delta (x-y) I ~~~(i = 1,. . .,n)
</math>

где <math>I</math> -- единичная матрица; <math>\delta (x)</math> -- дельта-функция Дирака. <math>l</math>-ый столбец функции Грина есть вектор смещений, полученный в результате действия точечного источника, приложенного в точке <math>y</math> в направлении <math>l</math>.
Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо найти функцию Грина для слоистой среды без неоднородностей.

==Пример: круговое отверстие в слоистой структуре для оператора Лапласа==
Рассмотрим слоистую структуру с параметрами:
* Полувысота слоев: $h_1 = h_3 = 2h_2$
* Проводимость слоев: $\kappa_1 = 25 \kappa_2,~\kappa_3 = 2 \kappa_2$
* Полудлина каждого слоя $A = 20h_2$
* Радиус кругового отверстия $R = 0.5 h_2$
* Количество узлов на контуре отверстия $N_s$ = 90
* Количество узлов на границе между слоями $N$ = 1024

[[Файл:3lay 05R solution.png|400px|thumb|center|Потенциал от кругового отверстия]] 

==Заключение==
Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

*  Разработан максимально эффективный алгоритм решения задач для слоистых структур. Эффективность алгоритма достигается применением  метода прогонки и быстрого преобразования Фурье.
* Для плоских слоистых структур исследована логарифмическая особенность функции Грина. Показано, что наличие логарифма добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено численно.
* Показано, что использование дискретного преобразования Фурье добавляет к функции Грина константу, значение которой может быть получено аналитически.
* Для определения точности нахождения функции Грина представлены 3 тестовые задачи. На их примере показано, что точность нахождения функции Грина не зависит от числа слоев в рассматриваемой структуре, а зависит от изменяемых параметров. Это позволяет контролировать точность результатов.
* Применение функции Грина для решения краевой задачи показало сильное влияние границ слоев на конечный результат при увеличении размера кругового отверстия

==Список использованной литературы==
* Aleynikov S.M., Spatial Contact Problems in Geotechnics , Foundations of Engineering Mechanics, 2011.

* Brebbia C.A.,  Boundary Element Techniques in Computer-Aided Engineering, 1984

* Brebbia C.A., Tells J.C.F., Wrobel L.C., Boundary Element Techniques, Springer, 1984

* Crouch S.L., Starfield A.M., Boundary Element Method in Solid Mechanics, 1983

* Dobroskok A.A., Linkov A.M., Complex variable equations and the numerica solution of harmonic problems for piecewise-homogeneous media, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 73 (2009) 313-325

* Filippov N.A., Linkov A.M., Milova L.A., Zoubkov V.V., A Method to Calculate Stresses and Deformations in 3D Layered Strata, Advances in Rock Mechanics, 1998

* Linkov A.M., Filippov N.A., Difference Equations Approach to the Analysis of Layered Systems, Meccanica, 26:195-209

* Linkov A.M., Linkova A.A., Savitski A.A., An Effective Method for Multi-Layered Media with Cracks and Cavities, International Journal of Damage Mechanics, 1994.

* Linkov A.M. Boundary Integral Equations in Elasticity Theory, SOLID MECHANICS AND ITS APPLICATIONS, Vol.99, 2002

* Maier G., Novati G., On boundary element-transfer matrix analysis of layered elastic systems, 7th Intrnat. Conf. on Boundary Elements in Engineering, Como (Italy), pp. 1-28, 1985.

* Novati G., On the analysis of elastic layers by a Fourier series, Green's function approach, Atti Accad. Naz. Lincei, 293-304, 1987.

* Ruppoport R.M., To the question of finding the solution of axisymmetric and plane elasticity problems for multilayered media, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1963.

* Ruppoport R.M., To the question of finding the solution for displacements of three-dimensional elasticity problem for multilayered half-space, Proc. Hydrotechnical Institute, Leningrad, 1966.

* Вигдерович И.Е., Ламзюк В.Д., Приварников А.К., Об использовании метода функций податливости при решении граничных задач для многослойных оснований, 1979.

* Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы: введение в теорию, Наука, 1977

* Никишин В.С., Шапиро Г.С., Пространственные задачи теории упругости для многослойных сред, 1970.

* Оболашвили Е.И., Преобразование Фурье и его применения в теории упругости , Тбилиси, Мецниереба, 1979.

* Самарский А.А., Гулин А.В., Численные методы, Наука, Москва, 1989.

* Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений, Наука, Москва, 1978.

* Шевляков Ю.А., Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред, 1977.