Редактирование: Решение задачи о сосредоточенной нагрузке

== Решение задачи о действии сосредоточенной нагрузки на упругую плоскость (двумерная постановка) ==

<math> ρ\ddot U = (\lambda +\mu ) \nabla \nabla \cdot U+\mu  \Delta U + P \delta (x) \theta (t), U = U (x_1, x_2) ~~~~~ (1) </math> <br>
<math> U (t=0)=0</math> <br>
<math> \dot U (t=0)=0</math> <br>

Если сила направлена вдоль <math> x_1 </math>, то компонента перемещения вдоль этого направления:

<math> U =\frac{P}{4 \pi  \rho } \left( \frac{1}{a^2 x_1} \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right) \left(a t \sqrt{a^2 t^2-x_1^2}+\left(x_1-2\right) x_1 \log \left(\frac{x_1}{\sqrt{a^2 t^2-x_1^2}+a t}\right)\right) - \frac{1}{b^2 x_1} \theta \left(t-\frac{x_1}{b}\right) \left(b t \sqrt{b^2 t^2-x_1^2}+x_1^2 \log \left(\frac{x_1}{\sqrt{b^2 t^2-x_1^2}+b t}\right)\right))\right </math>





{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Matsyuk/Lame_2D.html |width=830 |height=600 |border=0 }}

== Решение задачи о действии сосредоточенной нагрузки на упругое пространство (трехмерная постановка) ==

<math> ρ\ddot U = (\lambda +\mu ) \nabla \nabla \cdot U+\mu  \Delta U + P \delta (x) \theta (t), U = U (x_1, x_2, x_3) ~~~~~ (1) </math> <br>
<math> U (t=0)=0</math> <br>
<math> \dot U (t=0)=0</math> <br>

Если сила направлена вдоль <math> x_1 </math>, то компонента перемещения вдоль этого направления:

<math> U = \frac{P \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right)}{4 \pi  a^2 \rho  x_1^3} \left(x_1^2 \theta \left(t-\frac{x_1}{a}\right)+\frac{1}{b^2} \left(\left(a^2 \left(b^2 t^2-x_1^2\right) \theta \left(\frac{x_1}{b}-t\right)+x_1^2 \left(a^2-b^2\right)\right) \theta \left(\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) x_1,t-\frac{x_1}{a}\right)\\ +\theta \left(\frac{x_1}{a}-t\right) \theta \left(\frac{x_1}{b}-t\right) \left(x_1^2 \left(a^2-b^2\right) \theta \left(\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) x_1\right)+a^2 \left(b^2 t^2-x_1^2\right)\right)\right))\right) </math>

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Matsyuk/Lame_3D.html |width=830 |height=600 |border=0 }}