Решение двумерного уравнения теплопроводности. Черногорский Вячеслав. 6 курс — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 34: Строка 34:
 
|-
 
|-
 
|1  
 
|1  
|7.90
+
|8.32
 
|-
 
|-
 
|4
 
|4
|2.45
+
|3.15
 
|-
 
|-
 
|9
 
|9
|91.8818
+
|270.68
 
|-
 
|-
  

Текущая версия на 03:31, 20 февраля 2017

Цель[править]

Численное решение уравнения теплопроводности в единичном квадрате с помощью функций библиотеки MPI.

Постановка задачи[править]

Физическая постановка


Имеется пластина в форме квадрата с ребром единичной длины. Пусть пластина разогрета до температуры Тнач., и затем помещена в среду, которая имеет отличную температуру Тсреды. В этой задаче нас интересует процесс численного решения уравнения теплопроводности для пластины, которое выглядит следующим образом:


[math]\frac{\partial U}{\partial t} - a^2(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}) = 0[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} T(G,t) = 10\\ \end{cases}[/math]

И начальным распределением температуры

[math]T(x,y,t) = 50 [/math]

Конечно-разностная схема[править]

Задача содержит производную по времени первого порядка и производные по пространственным координатам второго порядка. Запишем конечно-разностные аналоги слагаемых, входящих в уравнение

Formula11.png

Компьютерная реализация[править]

Компьютерную реализацию программы можно найти в Файл:Teplo.rar. В первую очередь область исследования покрывается конечно-разностной сеткой, и решение мы будем искать в узлах этой сетки. Для граничных узлов сетки, решение уже известно из граничных условий, для внутренних условий решение мы должны найти. Так как процесс у нас протекающий во времени, то решение мы будем искать по слоям сетки, в пределах заданного времени.

Результаты[править]

Количество процессов Время рассчета (сек)
1 8.32
4 3.15
9 270.68

Выводы[править]

  • При использовании 4 процессов скорость расчета наиболее оптимальна.
  • При увеличении числа процессоров скорость расчета уменьшается.