| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 6: |
Строка 6: |
| | | | |
| | '''Семестр:''' осень 2019 | | '''Семестр:''' осень 2019 |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ==Постановка задачи==
| |
| − | Реализовать симплектический для вращательного движения твердого тела.
| |
| − |
| |
| − | Построить графики изменения полной энергии системы. Убедиться в симплектичности метода.
| |
| − |
| |
| − | ==Теория==
| |
| − | Данный метод был получен Девидом Финчамом как аналог метода Верле для вращательного движения. Для описания поворота в данной статье используются кватернионы.
| |
| − | Алгоритм состоит из двух частей.
| |
| − |
| |
| − | Вспомогательная часть:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | 1.\: \underline{J}^{n} = \underline{J}^{n-1/2} +\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{T}^{n}
| |
| − | \\
| |
| − | 2. \: \underline{J}^{n}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n} \: \underline{J}^{n}
| |
| − | \\
| |
| − | 3.\: \omega_{pi}^{n} = {J}^{n}_{pi}/I
| |
| − | \\
| |
| − | 4.\: \underline{q}^{n+1/2}=\underline{q}^{n}+\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n}\underline{\omega}_{p}^{n}
| |
| − | \\
| |
| − | 5.\: Использовать\: \underline{q}^{n+1/2}\: для\: вычисления\: \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: и\: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Главная часть:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | 6.\: \underline{J}^{n+1/2} = \underline{J}^{n-1/2} +\Delta t \: \underline{T}^{n}
| |
| − | \\
| |
| − | 7.\: \underline{J}^{n+1/2}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: \underline{J}^{n}
| |
| − | \\
| |
| − | 8.\: \omega_{pi}^{n_1/2} = {J}^{n+1/2}_{pi}/I
| |
| − | \\
| |
| − | 9.\: \underline{q}^{n+1}=\underline{q}^{n}+\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}\underline{\omega}_{p}^{n+1/2}
| |
| − | \\
| |
| − | 10. \: Сохранить \: \underline{J}^{n+1/2} \: и \: \underline{q}^{n+1} \: для\: следующих\: шагов.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | ,где <math>\underline{J}</math> -кинетический момент, <math>\underline{T}</math> - внешний момент, <math>\underline{q}</math> - кватернион, описывающий поворот, <math>\underline{\omega}</math> -угловая скорость, <math>I</math> - момент инерции, <math>\underline{\underline{A}}</math> - матрица поворота
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{\underline{Q}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
| |
| − | q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_{3}\\
| |
| − | q_{1} & q_{0} & -q_{3} & q_{2}\\
| |
| − | q_{2} & q_{3} & q_{0} & -q_{1}\\
| |
| − | q_{3} & -q_{2} & q_{1} & q_{0}
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | ==Результаты==
| |
| − | Алгоритм был реализован на языке программирования Python.
| |
| − |
| |
| − | В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси <math>(0,sin\frac{\pi}{3},cos\frac{\pi}{3})</math>.
| |
| − |
| |
| − | Полученные графики:
| |
| − |
| |
| − | [[File:Symplecticint1.gif]]
| |
| − |
| |
| − | Здесь красная линия - потенциальная энергия системы, зеленая - кинетическая, черная - полная.
| |
| − |
| |
| − | Как можно заметить полная энергия системы не растет со временем, а лишь колеблется около одного значения. В данном случае, отклонения не превышают 5% от среднего значения.
| |
| − |
| |
| − | ==Ссылки==
| |
| − | 1. D. Fincham, Mol. Simul. 8, 165 (1992).
| |
