Редактирование: Расчет упругих модулей материала с ГЦК решеткой при наличии линейных и угловых взаимодействий

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Фомичева Мария]]

'''Группа:''' [[Группа 10|10]] (43604/1)

'''Семестр:''' осень 2017

== Введение ==

[[Файл:Материал для определения упругих модулей.png|thumb|Рис.1. Исследуемый материал]]
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств разных материалов. Эти исследования позволяют определить поведение материала при различных деформациях и напряжениях.

В данной работе проводится исследование материала с ГЦК решеткой на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Пример материала, для которого производились расчеты, показан на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия: левая грань материала фиксируется, правая грань растягивается вдоль горизонтально оси, все остальные грани - свободные.

== Алгоритм компьютерного эксперимента ==

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством нахождения
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
ведется методом центральных разностей. Данный метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

<math>\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau</math>

<math>\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,</math>

где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
вычисляется через приложенную к частице силу.
Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.

''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
соседние с ним атомы. Они вычисляются при учете линейного и углового взаимодействия частц. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:

<math>
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
</math>

Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
где <math>\underline{r}_i</math>
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
частицы (<math>\alpha</math>).


''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.

В трехмерном материале коэффициенты упругости
определяются через следующие выражения:

<math>   \begin{array}{l}
    \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
    \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
    \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
    \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
    \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
    \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
   \end{array}
</math>


Модули упругости выражаются формулами:

<math>
    \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
    E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
</math> где 
<math> E  </math> - модуль Юнга,   
<math>\nu </math> - коэффициент Пуассона

== Компьютерный эксперимент с конкретным материалом ==

При компьютерном эксперименте был рассмотрен изотропный материал со следующими параметрами: 

Расстояние между частицами - <math>d = 0.33,</math>

Количество частиц - <math> N = 8000,</math>

Радиус обрезания - <math> A_c = 1.3</math>

Масса частиц, жесткость и длина ребра материала приняты равными единице.
 
При растяжении такого материала упругие модули получаются следующими:
<math>E/E* = 0.808,</math> где <math> E/E*</math> - обезразмеренный модуль Юнга

<math>\nu = 0.396</math>

==Ссылки==  
*Автор проекта: [[ Фомичева Мария]]
*[[Виртуальная лаборатория]]