Разрезание ножом яблока в процессе полета — различия между версиями
(→Аннотация проекта) |
(→Общие сведения по теме) |
||
| Строка 10: | Строка 10: | ||
Обозначим <math>F - P + Mg</math> за k для уменьшения объема вычислений.<p> | Обозначим <math>F - P + Mg</math> за k для уменьшения объема вычислений.<p> | ||
| + | </p><p>'''1 Случай.''' <math>k < 0</math> -> <math>P > F + Mg</math>. Это случай отскока ножа от яблока.</p> | ||
| + | '''2 Случай.''' <math>k = 0 -> P = F + Mg</math> - равномерное разрезание яблока. | ||
| + | <math>mx' = mVo -> x' = Vo = const</math> | ||
| + | Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными <math>x'|t=0 = Vo</math> ).<p></p> | ||
| + | <math>mx = mVot + mxo</math> -> <math> x = Vot - xo</math> . | ||
| + | Рассчитав время падения яблока <math>tпад = Sqrt((2/g)* (xo - D ))</math> мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.<p> | ||
| + | <math>f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)</math> (**)</p><p> | ||
| + | Если <math>Vo - gD^2/2(xo-D) > 0</math> - наблюдаем полный разрез яблока до падения. </p> | ||
| + | <math>Vo - gD^2/2(xo-D) < 0</math> - наблюдаем неполный разрез. | ||
| − | ''' | + | '''3 Случай.''' <math>k > 0 -> P < F + Mg</math> - разрез будет проводиться с ускорением. |
| − | + | Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : <math>mx = kt^2/2 + mVot - mxo</math> <p></p> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : mx = kt^2/2 + mVot - mxo | ||
Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения : | Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения : | ||
| − | m(-Vo + sqrt(Disc))/2k и sqrt((2/g)*(xo - D)) , где Disc = Vo^2 + 2D*k/m | + | <math>m(-Vo + sqrt(Disc))/2k</math> и <math>sqrt((2/g)*(xo - D))</math> , где <math>Disc = Vo^2 + 2D*k/m</math> |
'''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> : | '''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> : | ||
| − | F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m - 8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k* | + | <math>F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*Sqrt(2*(xo-D)/g)/ m</math> (***) |
== Результат == | == Результат == | ||
В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать | В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать | ||
Версия 13:21, 23 мая 2014
Аннотация проекта
Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.
Постановка задачи
- Математически рассчитать благоприятные для разрезания яблока случаи
Общие сведения по теме
Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.
Уравнение движения ножа : (*). Ось x направлена к земле. Уравнение движения яблока :
Обозначим за k для уменьшения объема вычислений.<p>
1 Случай. -> . Это случай отскока ножа от яблока.
2 Случай. - равномерное разрезание яблока.
Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными ).-> .
Рассчитав время падения яблока мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.(**)
Если - наблюдаем полный разрез яблока до падения.
- наблюдаем неполный разрез.
3 Случай. - разрез будет проводиться с ускорением.
Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t :Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения : и , где
Окончательное уравнение, зависящее от :
(***)
Результат
В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать
