Простой гармонический одномерный кристалл

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС >Одномерный кристалл>Простой одномерный гармонический кристалл

Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.

Уравнение движения

Динамика рассматриваемого кристалла описывается линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка

[math]m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}),[/math]

где [math]m[/math] — масса частицы, [math]C[/math] — жесткость связи, [math]u_k[/math] — перемещение частицы с номером [math]k[/math], точкой обозначена производная по времени.

Публикации по теме

• Z. Rieder, J. L. Lebowitz and E. Lieb. Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State. J. Math. Phys. 8, 1073 (1967). Abstract. (Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).

• Hiroshi Nakazawa. On the Lattice Thermal Conduction. Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), 45, 231-262. (Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).

• D. Roy, A. Dhar. Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices. J Stat Phys (2008) 131: 535–541. (Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).

• Pereira, E., Lemos, H.C.F., Ávila, R.R. Ingredients of thermal rectification: The case of classical and quantum self-consistent harmonic chains of oscillators. Phys. Rev. E 84, 061135 (2011) [7 pages]. (Для гармонической цепочки показано, что тепловой поток не зависит от градиента температуры в классическом и зависит в квантовом случае).

• А.М. Кривцов. Колебания энергий в одномерном кристалле. Доклады Академии Наук. 2014, том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: 180 Kb) English version: Anton M. Krivtsov. Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal // Doklady Akademii Nauk. Doklady Physics, 2014, Vol. 59, No. 9, pp. 427–430. (Скачать pdf: 162 Kb) (Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).

• А.М. Кривцов. Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле. Доклады Академии Наук. 2015, том 464, № 2. (Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).