Редактирование: Простой гармонический одномерный кристалл

[[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Механика]] > [[Механика дискретных сред | МДС]] >[[Одномерный кристалл]]>'''Простой гармонический'''

''Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.''

== Уравнение движения ==

Классическая динамика рассматриваемого кристалла описывается следующим линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка

:<math>m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + f_k,</math>

где <math>m</math> — масса атома, <math>C</math> — жесткость связи, <math>u_k</math> — перемещение атома, <math>f_k</math> — внешняя сила, <math>k</math> — номер атома, точкой обозначена производная по времени.

== Виртуальная лаборатория ==

*[[Динамика одномерного кристалла]]
*[[Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле]]

== Публикации по теме ==

=== Тепловые процессы ===

* [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar], R. Dandekar. '''Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals.''' Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437114004671?np=y Abstract].

* [[A.M. Krivtsov]]. '''On unsteady heat conduction in a harmonic crystal'''. 2015, ArXiv:1509.02506 ([http://arxiv.org/abs/1509.02506 abstract], [http://arxiv.org/pdf/1509.02506v2.pdf pdf], [[Heat transfer in a 1D harmonic crystal|simulation]]) ''(Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).''
<!--
*  [[А.М. Кривцов]]. '''Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле'''. Доклады Академии Наук (2015), том 464, № 2, C. 162-166. (Скачать pdf:  [[Медиа: Krivtsov_2015 DAN rus proof.pdf|93 Kб]])''
-->

* [[А.М. Кривцов]]. '''Колебания энергий в одномерном кристалле'''. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_rus_corrected.pdf| 180 Kb]]). English version: [[A.M. Krivtsov]]. '''Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal'''. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: [[Медиа: Krivtsov_2014_DAN_eng_corrected.pdf| 162 Kb]]) ''(Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).''

* D. Roy, [https://www.icts.res.in/people/1/details/90/ A. Dhar]. '''Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices.''' J Stat Phys (2008),  Volume 131, Issue 3, 535–541. ([http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10955-008-9487-1 Abstract], [https://home.icts.res.in/~abhi/Papers/39-harmlatt-II.pdf pdf]) ''(Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).''

* H. Nakazawa. '''On the Lattice Thermal Conduction.''' Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), Volume 45, 231-262. [http://ptps.oxfordjournals.org/content/45/231.abstract?sid=59ff5cd6-c8c3-4e9d-9e4b-263cffb39a40 Abstract] ''(Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).''

* Z. Rieder, [https://en.wikipedia.org/wiki/Joel_Lebowitz J. L. Lebowitz] and [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott_H._Lieb E. Lieb]. '''Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State.''' J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. [http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/8/5/10.1063/1.1705319 Abstract] ''(Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).''

=== Релаксационная динамика ===

В случае, когда <math>f_k = -b \dot u_k + \tilde f_k</math> и коэффициент вязкости <math>b</math> достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым <math>m\ddot u_k</math>, уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка): 
:<math>b\dot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + \tilde f_k.</math>
Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves). 

=== Другие вопросы ===

* [http://www.researchgate.net/profile/August_Wierling/info A. Wierling]. '''Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach.''' The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. [http://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjb%2Fe2011-20571-5 Abstract] ''(Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).''

== См. также ==

* [[Перенос тепла в одномерных кристаллах]]
* [[Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах]]

[[Category: Проект "Термокристалл"]]