Редактирование: Пример: баллистическое движение

[[Виртуальная лаборатория]] > '''Баллистическое движение''' 
[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[А.М. Кривцов. Рабочие материалы по курсу "Теоретическая механика"#Глава 5. Динамика материальной точки|Рабочие материалы]] > [[Пример: баллистическое движение]] <HR>


== Уравнение движения ==

Рассмотрим движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле силы тяжести. Будем считать, что на тело действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости. Реальный закон сопротивления сложнее, однако здесь мы ограничимся указанной упрощенной постановкой. Запишем уравнение движения рассматриваемой системы и соответствующие начальные условия:
:<math>
m\ddot{\bf r} = m{\bf g} - b\dot{\bf r};\qquad
\left.\dot{\bf r}\right|_{t=0} = {\bf v}_0,\qquad
\left.{\bf r}\right|_{t=0} = 0,
</math>

где 
<math>m</math> и <math>{\bf r}</math> — масса и радиус-вектор материальной точки, <math>m{\bf g}</math> — сила тяжести, <math>b\vphantom{b_0}</math> — коэффициент сопротивления, <math>{\bf v}_0</math> — начальная скорость, <math>t</math> — время, точкой обозначена производная по времени, векторы выделены жирным шрифтом. 

Обозначим 
<math>\beta = b/m,\ {\bf v} = \dot{\bf r}</math>. Тогда уравнение движения может быть записано в виде 

:<math>\dot{\bf v} + \beta{\bf v} = {\bf g}.</math>

== Точное решение ==

Ищем решение полученного линейного дифференциального уравнения в виде выражения

:<math>{\bf v} = {\bf C}_1e^{\lambda t} + {\bf C}_2,</math>

которое, после подстановки в уравнение движения с учетом начальных условий, дает следующую формулу для скорости

:<math>{\bf v} = \left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)e^{-\beta t} + \frac{\bf g}{\beta}.</math>

Легко видеть, что при <math>t \to \infty</math> скорость стремится к постоянному значению <math>{\bf g}/{\beta}</math>, представляющему собой скорость парашютирования. Интегрирование по времени полученного выражения скорости с учетом начальных условий приводит к следующему уравнению для радиус-вектора материальной точки 

:<math>{\bf r} = \frac1\beta\left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right) + \frac{\bf g}{\beta}\,t.</math>

Баллистическая кривая, соответствующая полученному выше решению, представлена на интерактивном графике ниже. Перемещение слайдера позволяет иследовать влияние угла броска и коэффициента сопротивления на форму траектории (при постоянной скорости броска). 


<htmlet nocache="yes">Krivtsov/mgb_TM</htmlet>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
'''Текст программы построения графиков на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"mgb.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
// Баллистическая кривая (линейное сопротивление)
// Разработчик А.М. Кривцов 
// 01-02.06.2014 
// Интернет: tm.spbstu.ru/mgb

function MainMGB(canvas) {

    // Предварительные установки

	const deg = Math.PI / 180;			// Угловой градус (degree)

	const X_max = canvas.width;
 	const Y_max = canvas.height;
	
    // Размерные параметры

    const g = 1.;    // ускорение свободного падения
    const v0 = 1.;    // начальная скорость
	
    // Расчет констант 
	
	const h = v0 * v0 / 2 / g;
	
    // Задание начальных значений параметров
	
	var al;
	var x, y;
	var v0x, v0y;

	var beta = .2 * g / v0;

	set_al(60);
    
	// Область построения графика
    const x_min = 0;  
    const x_max = 2 * h;
    const y_min = 0;    
    const y_max = h;      

 	const N = X_max;                 	// число точек по оси x
	const dx = x_max / N;            	// шаг по оси x
	const sx = X_max / x_max;        	// масштаб по оси x

	var sy; 							// масштаб по оси y
	var Y0;  							// положение 0 оси y в экранных координатах
	var context;  						// на context происходит рисование

    // настройка слайдеров и текстовых полей
	
    Text_01.value = Math.round(al / deg);
	Slider_01.min = 5;       	
    Slider_01.max = 89;
    Slider_01.step = 1;
    Slider_01.value = Text_01.value;     	
	
    Text_02.value = Math.round(beta / g * v0 * 100) / 100;
	Slider_02.min = 0;       	
    Slider_02.max = 1;
    Slider_02.step = 0.01;
    Slider_02.value = Text_02.value;     	
	
	draw();

    // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
    this.set_01 = function(input) { set_al(input); draw(); }  
    this.set_02 = function(input) { beta = Number(input) * g / v0; Text_02.value = Math.round(beta / g * v0 * 100) / 100; Slider_02.value = Text_02.value; draw(); }  
    
	// Функции, запускающиеся при изменении элементов управления
    this.setCheckbox_01 = function(bool) { draw(); }
	this.setCheckbox_02 = function(bool) { draw(); }	
    this.setCheckbox_03 = function(bool) { draw(); }
	this.setCheckbox_04 = function(bool) { draw(); }	

	function set_al(value) 
	{
		al = value * deg;
		v0x = v0 * Math.cos(al);		
		v0y = v0 * Math.sin(al);
	}

	// Отображение
	
	function draw() 
	{ 
	   // Расчет параметров графики
		
		sy = Y_max / (y_max - y_min); 			// масштаб по оси y
		Y0 = Y_max + y_min * sy;  				// положение 0 оси y в экранных координатах

		context = canvas.getContext("2d");  	// на context происходит рисование
		context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); 	// очистить экран
        
		// Графики 

//		Graph(F0, 	checkbox_02.checked, 	'lightgrey');		
		Graph(F1, 	checkbox_02.checked, 	'grey');
		Graph(F2, 	checkbox_01.checked, 	'red');
		Graph(F3, 	checkbox_03.checked, 	'blue');		
		Graph(F4, 	checkbox_04.checked, 	'magenta');

        // Надписи
        context.fillStyle = 'black';
        context.font = "italic 20px Times";
        context.fillText("x", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
        context.fillText("y", 5, 15);
        context.fillText("0", 10, Y0 - 3);
	}

	// Построение графика функции
	
	function Graph(F, flag, color)
	{
		if (!flag) return;
		
		context.strokeStyle = color;
		context.beginPath();
		var dt = dx / v0x;
		var t_max = x_max / v0x;
		y = 0;
		for (var t = 0; t < t_max; t += dt)
		{
			F(t);
			var X = x * sx; 
			var Y = Y0 - y * sy; 
			context.lineTo(X, Y);	
		}
		context.stroke();
	}	
	
    // Траектории
    
    // al = 45 * deg;
	function F0(t) 	
    {
		x = v0x * t;
		y = x - g / (v0 * v0) * x * x; 
    }    

    // Произвольное al
	function F1(t)
    {
		x = v0x * t;
		y = v0y * t - g * t * t / 2; 
    }    
    
	// Сопротивление, точное решение 
	function F2(t)
    {
		if (Math.abs(beta) < 1e-6) { F1(t); return;	 }
		var t1 = (1 - Math.exp(-beta * t)) / beta;
		x = v0x * t1;
		y = (v0y + g / beta) * t1 - g / beta * t; 
    }     
	
	// Сопротивление, квадратичное приближение 
	function F3(t)
    {
		x = v0x * t - beta * v0x * t * t / 2;
		y = v0y * t - (g + beta * v0y) * t * t / 2; 
    }    
	
	// Сопротивление, кубическое приближение 
	function F4(t)
    {
		x = v0x * t - beta * v0x * t * t / 2;
		y = v0y * t - (g + beta * v0y) * t * t / 2 + beta * g * t * t * t / 6; 
    }    
}
</syntaxhighlight>
Файл '''"mgb.html"'''
<syntaxhighlight lang="html5" line start="1" enclose="div">
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <meta charset="UTF-8" />
    <title>mgb</title>
    <script src="mgb.js"></script>
</head>
<body>
    <canvas id="canvasGraph" width="800" height="400" style="border:1px solid #000000;"></canvas>

 	<!--Выбор графика (чекбоксы)-->
	<div>
        Траектория:
        <font color="#FF0000" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_01" name="" onchange="app.setCheckbox_01(this.checked);" checked/>с учетом сопротивления,
		<font color="#AAAAAA" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_02" name="" onchange="app.setCheckbox_02(this.checked);" checked/>без сопротивления
    </div>	
	<div>
        Приближение:
        <font color="#0000FF" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_03" name="" onchange="app.setCheckbox_03(this.checked);" checked/>квадратичное,
		<font color="#FF00FF" size="5"><B>—</B></font>
		<input type="checkbox" id="checkbox_04" name="" onchange="app.setCheckbox_04(this.checked);" checked/>кубическое
    </div>	

    <!--Установка параметров взаимодействия (текстовые поля и слайдеры)-->
    <div>
		Угол броска:
        <font face= "Times New Roman">
		<I>α</I> = <input id="Text_01" style="width: 2.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.set_01(this.value);
            document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
        ">˚
		<input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
		</font>,
		коэффициент сопротивления: 
        <font face= "Times New Roman">
		<I>β</I> = <input id="Text_02" style="width: 4.4ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.set_02(this.value);
            document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
        "><I> g/v</I><SUB>0</SUB>
		<input type="range" id="Slider_02" style="width: 100px;" oninput="app.set_02(this.value); document.getElementById('Text_02').value = this.value;">
		</font>
	</div>
    
	<script type="text/javascript">var app = new MainMGB(
		document.getElementById('canvasGraph')
	);</script>

</body>
</html> 
</syntaxhighlight>
</div>
</div>


== Случай малого сопротивления ==

Полученное выше решение 

:<math>{\bf r} = \frac1\beta\left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right) + \frac{\bf g}{\beta}\,t.</math>

дает точную формулу для траектории. Однако не может не вызывать удивление отличие полученной формулы от классической формулы

:<math>{\bf r} = {\bf v}_0\, t + {\bf g}\,\frac{t^2}2,</math>

описывающей [[Траектория тела, брошенного под углом к горизонту|движение тела, брошенного под углом к горизонту]] без учета сопротивления. Чтобы показать связь этих решений, рассмотрим случай малого сопротивления: <math>\beta t \ll 1</math>. Используем разложение

:<math>e^{-\beta t} \approx 1 - \beta t + \frac12\,\beta^2 t^2. </math>

Подстановка данного разложения в формулу точного решения дает 

:<math>{\bf r} = {\bf v}_0 t + \frac12\,\tilde{\bf g} t^2,\qquad
\tilde{\bf g} = {\bf g} - \beta {\bf v}_0.
</math>

''Следовательно, движение при малом сопротивлении близко к движению без сопротивления, но с измененной по величине и направлению силой тяжести, а траектория материальной точки приближенно представляет собой наклоненную параболу.'' 

Данный вывод очень нагляден, однако, строго говоря, он справедлив только для очень малых времен. Соответствующую кривую можно увидеть на интерактивном графике выше, если установить флажок, соответствующий квадратичному приближению. Из графиков видно, что приближенное решение дает оценку для точного решения, однако погрешность относительно высока. Из использованного разложения можно было бы ожидать, что приближенное решение будет асимптотически близко к точному при <math>\beta\to0</math>. Действительно, для справедливости использованного разложения должно выполняться условие <math>\beta t \ll 1</math>. То есть решение справедливо для не слишком больших времен. В частности, при броске с большой высоты тело может перейти в режим парашютирования, который не описывается данным приближенным решением. 

Однако, на самом деле, ограничение еще более жесткое. Это можно увидеть, если удержать следующее слагаемое в разложении экспоненты:

:<math>e^{-\beta t} \approx 1 - \beta t + \frac12\,\beta^2 t^2 - \frac16\,\beta^3 t^3, </math>

что приводит к выражению

:<math>{\bf r} = {\bf v}_0 t + \frac12\left({\bf g} - \beta {\bf v}_0\right) t^2 - \frac16\,\beta{\bf g}t^3.
</math>

Данное выражение отличается наличием последнего слагаемого, которое дает хоть и меньший, но сравнимый вклад. В выражении имеется два слагаемых, линейных по <math>\beta</math>. Хоть они и имеют разный порядок малости по <math>t</math>, однако для времен порядка <math>v_{0}/g</math> (такой порядок имеет полное время полета) они, очевидно, дают сравнимый вклад. Соответствующую кривую можно увидеть на интерактивном графике выше, если установить флажок, соответствующий кубическому приближению.

Таким образом, квадратичное приближение имеет асимптотическую точность только при малых временах <math>t \ll v_{0}/g</math>. Однако, как видно из графиков, оно все же неплохо приближает точное решение, как при малых <math>\beta</math>, так и при больших, для которых форма кривой оказывается даже более адекватной, чем для кубического приближения. Следовательно, наглядная интерпретация в виде наклоненной параболы вполне допустима для качественного описания баллистического движения.

== См. также == 

* [[Траектория тела, брошенного под углом к горизонту]]

[[Category: Виртуальная лаборатория|Баллистическое движение]]