Редактирование: Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 518: | Строка 518: | ||
где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | ||
− | В рамках гипотезы <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math><ref name="presTsvetkovAPM16"/>, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку | + | В рамках гипотезы~(\ref{expectationTauBeta}) <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math><ref name="presTsvetkovAPM16"/>, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку~\ref{standingWave}, величина <math>\beta</math> должна уменьшаться. |
− | Если | + | Если выражение~(\ref{expectationTauBeta}) верно, то показатель <math>\beta</math> в зависимости от величины теплового шума можно определить, перестроив график энергии~\ref{standingWave} в логарифмических осях. |
<math> | <math> | ||
Строка 535: | Строка 535: | ||
</math> | </math> | ||
− | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. | + | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение~(\ref{expectationTauBetaLine}) сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. |
<math> | <math> | ||
Строка 546: | Строка 546: | ||
[[File:StarobinskiiThesis4.png|framed|center|Рисунок 4. Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях]] | [[File:StarobinskiiThesis4.png|framed|center|Рисунок 4. Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях]] | ||
− | Соответствующее преобразование графика энергии приведено на рисунке 4. Получившиеся функции успешно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную | + | Соответствующее~(\ref{expectationTauBetaLine}) преобразование графика энергии приведено на рисунке 4. Получившиеся функции успешно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную гипотезу~(\ref{expectationTauBeta}). |
[[File:StarobinskiiThesis5.png|framed|center|Рисунок 5. Значения <math>\beta</math> при разных значениях дисперсии, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis5.png|framed|center|Рисунок 5. Значения <math>\beta</math> при разных значениях дисперсии, стоячая волна]] | ||
− | Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке | + | Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке~\ref{standingWaveBeta}. Тепловая энергия в реальном материале может превосходить механическую на несколько порядков. Чтобы оценить значение <math>\beta</math> в таком случае, построим аппроксимацию этого графика и определим предельное значение показателя при условии <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>. |
− | + | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaLog}. Начиная с <math>x = 1.5</math> значения могут быть аппроксимированы прямой: | |
− | |||
− | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке | ||
<math> | <math> | ||
Строка 565: | Строка 563: | ||
где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | ||
− | Выражая | + | Выражая из~(\ref{standingWaveApproximation}) функцию <math>\beta</math>, получаем следующее: |
<math> | <math> | ||
Строка 575: | Строка 573: | ||
где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | ||
+ | |||
+ | [[File:StarobinskiiThesis6.png|framed|center|Рисунок 6. Значения функции <math>\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)</math> в логарифмических осях, стоячая волна]] | ||
[[File:StarobinskiiThesis7.png|framed|center|Рисунок 7. Аппроксимация графика <math>\beta</math>, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis7.png|framed|center|Рисунок 7. Аппроксимация графика <math>\beta</math>, стоячая волна]] | ||
Строка 590: | Строка 590: | ||
</math> | </math> | ||
− | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке | + | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (снизу). Уже при <math>\sigma_{v} = 12 \cdot 10^3</math> ошибка в определении <math>\beta</math> единицей составит менее процента. |
[[File:StarobinskiiThesis9.png|framed|center|Рисунок 9. Аппроксимация графика <math>\alpha</math>, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis9.png|framed|center|Рисунок 9. Аппроксимация графика <math>\alpha</math>, стоячая волна]] | ||
− | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок | + | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{standingWaveBetaLog}). Подставив в уравнение (\ref{lineEquation}) <math>x = 0</math>, определим значения <math>\ln\!\left(\alpha\right)</math> как функции от <math>\sigma_{v}^{2}</math>. Результат приведён на рисунке 9. Была получена следующая формула для аппроксимации <math>\alpha</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 603: | Строка 603: | ||
</math> | </math> | ||
− | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, | + | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, уравнение \ref{standingWaveAlpha} имеет предельное значение при <math>\sigma_{v}^{2}~\to~\infty</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 646: | Строка 646: | ||
где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | ||
− | Решение дифференциального уравнения имеет вид: | + | Решение дифференциального уравнения~(\ref{oscillationEquation}) имеет вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 657: | Строка 657: | ||
где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | ||
− | Данный результат был представлен в работе К. Ю. Аристовича<ref>К. Ю. Аристович. Зависимость макроскопических параметров колебаний кристаллического стержня от микроструктуры. Труды XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2:23–35, 2006.</ref> и хорошо согласуется с формулой | + | Данный результат был представлен в работе К. Ю. Аристовича<ref>К. Ю. Аристович. Зависимость макроскопических параметров колебаний кристаллического стержня от микроструктуры. Труды XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2:23–35, 2006.</ref> и хорошо согласуется с формулой~(\ref{standingWaveEquation2}), переписанной в безразмерных величинах: |
<math> | <math> | ||
Строка 668: | Строка 668: | ||
где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | ||
− | Сопоставим | + | Сопоставим решение~(\ref{oscillationEquationSolution}) с~(\ref{standingWaveEquation3}) и определим значений <math>\gamma</math>: |
<math> | <math> |