Потенциалы Терсоффа, Бреннера — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Потенциал Терсоффа)
(Потенциал Терсоффа: В определении n была пропущена точка, отделяющая целую и дробную часть)
 
(не показано 18 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[ТМ|Кафедра ТМ]] > [[Научный справочник]] > [[Потенциалы взаимодействия]] > [[Многочастичные силовые потенциалы взаимодействия | Многочастичные силовые]] > [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера | Терсоффа, Бреннера]]<HR>
 +
 
== Потенциал Терсоффа ==
 
== Потенциал Терсоффа ==
  
Энергия системы частиц задается с помощью выражений:
+
Энергия системы частиц задается с помощью выражений <ref name="Tersoff1" /> <ref name="Tersoff2" /> <ref name="Erkoc" />:
  
 
<math>E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},</math>
 
<math>E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},</math>
Строка 63: Строка 65:
 
         A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\
 
         A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\
 
         B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\
 
         B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\
         \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\
+
         \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{Å}^{-1}, \\
         \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\
+
         \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{Å}^{-1}, \\
 
         \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\
 
         \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\
 
         n = 0.72751,
 
         n = 0.72751,
Строка 72: Строка 74:
 
         d = 4.3484, \\
 
         d = 4.3484, \\
 
         h = -0.57058, \\
 
         h = -0.57058, \\
         R = 1.95 \,\mbox{\AA}, \\
+
         R = 1.95 \,\mbox{Å}, \\
         D = 0.15 \,\mbox{\AA}, \\
+
         D = 0.15 \,\mbox{Å}, \\
 
         \lambda_3 = 0.
 
         \lambda_3 = 0.
 
     \end{array}
 
     \end{array}
Строка 82: Строка 84:
 
<math>
 
<math>
 
     \begin{array}{l}
 
     \begin{array}{l}
         R = 3 \mbox{\AA}, \\
+
         R = 3 \mbox{Å}, \\
 
         A = 3264.7 \mbox{eV}, \\
 
         A = 3264.7 \mbox{eV}, \\
         \lambda_1 = 3.2394 \mbox{\AA}, \\
+
         \lambda_1 = 3.2394 \mbox{Å}, \\
 
         \beta = 0.33675, \\
 
         \beta = 0.33675, \\
 
         c = 4.8381,
 
         c = 4.8381,
 
     \end{array}
 
     \end{array}
 
     \begin{array}{l}
 
     \begin{array}{l}
         D = 0.2 \mbox{\AA}, \\
+
         D = 0.2 \mbox{Å}, \\
 
         B = 95.373 \mbox{eV}, \\
 
         B = 95.373 \mbox{eV}, \\
         \lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{\AA}, \\
+
         \lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{Å}, \\
         n = 22956, \\
+
         n = 22.956, \\
 
         d = 2.0417.
 
         d = 2.0417.
 
     \end{array}
 
     \end{array}
Строка 101: Строка 103:
  
 
== Потенциал Терсоффа-Бреннера ==
 
== Потенциал Терсоффа-Бреннера ==
 +
 +
(или потенциал Бреннера первого поколения)
  
 
При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала
 
При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала
Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения:
+
Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения <ref name="Brenner1" /> <ref name="Reddy" />:
  
 
<math>
 
<math>
     V_B (r_{ij}) = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right],
+
     V_B = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right],
 
</math>
 
</math>
  
Строка 122: Строка 126:
  
 
Константы имеют значения: <math>D^{(e)} = 6.0</math> eV, <math>S = 1.22</math>,
 
Константы имеют значения: <math>D^{(e)} = 6.0</math> eV, <math>S = 1.22</math>,
<math>\beta = 21</math> нм<math>^{-1} = 2.1 \,\mbox{\AA}^{-1}</math>
+
<math>\beta = 21</math> нм<math>^{-1} = 2.1 \,\mbox{Å}^{-1}</math>
и <math>R^{(e)} = 0.1390</math> нм <math>= 1.390\,\mbox{\AA}</math>.
+
и <math>R^{(e)} = 0.1390</math> нм <math>= 1.390\,\mbox{Å}</math>.
 
Функция обрезания (cut-off function) <math>f_C (r)</math> имеет вид:
 
Функция обрезания (cut-off function) <math>f_C (r)</math> имеет вид:
  
Строка 140: Строка 144:
 
</math>
 
</math>
  
где константы <math>R^{(1)} = 0.17</math> нм <math>= 1.7 \,\mbox{\AA}</math> и
+
где константы <math>R^{(1)} = 0.17</math> нм <math>= 1.7 \,\mbox{Å}</math> и
<math>R^{(2)} = 0.2</math> нм <math>= 2 \,\mbox{\AA}</math>. Параметр  
+
<math>R^{(2)} = 0.2</math> нм <math>= 2 \,\mbox{Å}</math>. Параметр  
 
<math>\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>, где
 
<math>\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>, где
  
Строка 158: Строка 162:
 
где <math>a_0 = 0.000\,208\,13</math>, <math>c_0 = 330</math> и <math>d_0 = 3.5</math>.
 
где <math>a_0 = 0.000\,208\,13</math>, <math>c_0 = 330</math> и <math>d_0 = 3.5</math>.
  
 +
== Потенциал Бреннера второго поколения ==
 +
 +
Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
 +
в виде <ref name="Brenner2"/>:
 +
 +
<math>
 +
    E_b = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
 +
</math>
 +
 +
Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:
 +
 +
<math>
 +
    V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r},
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
    V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
 +
</math>
 +
 +
где
 +
 +
<math>
 +
    f^c (r) = \left\{
 +
    \begin{array}{l}
 +
        1,  \\
 +
        \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
 +
        0, \\
 +
    \end{array} \right.
 +
    \begin{array}{l}
 +
        r < D_{\min}, \\
 +
        D_{\min} < r < D_{\max}, \\
 +
        r > D_{\max},
 +
    \end{array}
 +
</math>
 +
 +
Параметры имеют вид:
 +
 +
<math>
 +
    \begin{array}{l}
 +
    B_1  = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1  = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
 +
    0833 \,\mbox{Å},\\
 +
    B_2  = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
 +
    \,\mbox{eV},\\
 +
    B_3  = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3  = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
 +
    \,\mbox{Å}^{-1},\\
 +
    D_{\min}  = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max}  = 2.0 \,\mbox{Å}.
 +
  \end{array}
 +
</math>
 +
 +
Множитель <math>b_{ij}</math> равен <math>b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>,
 +
где
 +
 +
<math>
 +
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
 +
    \right]^{-1/2},
 +
</math>
 +
 +
где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
 +
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G(\cos\theta)</math> строится как полином через значения функции и ее
 +
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза (<math>\theta =
 +
\arccos(-1/3)</math>) и графена (<math>\theta = 2 \pi / 3</math>):
 +
 +
{| class="wikitable"
 +
|  <math>\theta(rad)</math>
 +
|  <math>G(\cos \theta)</math>
 +
|  <math>dG(\cos \theta) / d\cos \theta</math>
 +
|  <math>d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2</math>
 +
|-
 +
|  <math>0.6082\pi</math>
 +
|  <math>0.097 33</math>
 +
|  <math>0.400 00</math>
 +
|  <math>1.980 00</math>
 +
|-
 +
|  <math>2\pi / 3</math>
 +
|  <math>0.052 80</math>
 +
|  <math>0.170 00</math>
 +
|  <math>0.370 00</math>
 +
|}
 +
 +
== Литература ==
 +
 +
<references>
 +
 +
<ref name="Tersoff1">J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
 +
// Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999[[Медиа:tersoff-silicon(main).pdf | (2.50 Mb)]]</ref>
 +
 +
<ref name="Tersoff2">J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
 +
Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882.
 +
[[Медиа:tersoff-carbon.pdf | (708 Kb)]]</ref>
 +
 +
<ref name="Erkoc">Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
 +
of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105[[Медиа:Erkoc_1997.pdf | (937 Kb)]]</ref>
 +
 +
<ref name="Brenner1">D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
 +
Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471.
 +
[[Медиа:brenner-phys-rev.pdf | (2.21 Mb)]] [[Медиа:brenner-errors.pdf | (Errata 102 Kb)]]</ref>
 +
 +
<ref name="Reddy">C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
 +
elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.</ref>
 +
 +
<ref name="Brenner2">D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
 +
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
 +
hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802.
 +
[[Медиа:brenner2002.pdf | (144 Kb)]]</ref>
 +
 +
</references>
  
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
Строка 164: Строка 274:
  
  
[[Category: Потенциалы]]
+
[[Category: Потенциальные взаимодействия|Тер]]

Текущая версия на 12:42, 11 декабря 2019

[ТМ|Кафедра ТМ]] > Научный справочник > Потенциалы взаимодействия > Многочастичные силовые > Терсоффа, Бреннера

Потенциал Терсоффа[править]

Энергия системы частиц задается с помощью выражений [1] [2] [3]:

[math]E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},[/math]

где [math]i,j[/math] – индексы частиц. [math]E[/math] – полная потенциальная энергия; [math]E_i[/math] – энергия, приходящаяся на одну частицу; [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся на пару частиц:

[math]V_{ij} = f_C (r_{ij})\left(f_R (r_{ij}) + b_{ij} f_A (r_{ij})\right),[/math]

[math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math], [math]f_C (r)[/math] – функция обрезания (cutoff function):

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 - \sin(\frac{\pi(r - R)}{2D}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R - D, \\ R - D \lt r \lt R + D, \\ r \gt R + D, \end{array} [/math]

[math]f_R (r)[/math] – функция отталкивания, [math]f_A (r)[/math] – функция притяжения. Выражения для функций притяжения и отталкивания имеют вид:

[math] \begin{array}{c} f_R (r) = A \exp (-\lambda_1 r), \\ f_A (r) = - B \exp (-\lambda_2 r). \end{array} [/math]

Коэффициент [math]b_{ij}[/math] имеет вид:

[math] b_{ij} = (1 + \beta^n\zeta_{ij}^n)^{-1/(2n)}, [/math]

[math] \zeta_{ij} = \sum_{k\neq i,j} f_C (r_{ik}) g (\theta_{ijk}) \exp(\lambda_3^3 (r_{ij}-r_{ik})^3), [/math]

[math] g (\theta) = 1 + \frac{c^2}{d^2} - \frac{c^2}{d^2 + (h - \cos \theta)^2}, [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math].

Коэффициенты, используемые для атомов углерода:

[math] \begin{array}{l} A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\ B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\ \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{Å}^{-1}, \\ \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{Å}^{-1}, \\ \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\ n = 0.72751, \end{array} \begin{array}{l} c = 38049, \\ d = 4.3484, \\ h = -0.57058, \\ R = 1.95 \,\mbox{Å}, \\ D = 0.15 \,\mbox{Å}, \\ \lambda_3 = 0. \end{array} [/math]

Коэффициенты, используемые для атомов кремния:

[math] \begin{array}{l} R = 3 \mbox{Å}, \\ A = 3264.7 \mbox{eV}, \\ \lambda_1 = 3.2394 \mbox{Å}, \\ \beta = 0.33675, \\ c = 4.8381, \end{array} \begin{array}{l} D = 0.2 \mbox{Å}, \\ B = 95.373 \mbox{eV}, \\ \lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{Å}, \\ n = 22.956, \\ d = 2.0417. \end{array} \begin{array}{l} h = 0, \end{array} [/math]

Потенциал Терсоффа-Бреннера[править]

(или потенциал Бреннера первого поколения)

При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения [4] [5]:

[math] V_B = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right], [/math]

где [math]r_{ij}[/math] – расстояние между частицами [math]i,j[/math]. [math]V_R (r)[/math] и [math]V_A (r)[/math] – функции отталкивания и притяжения, имеющие вид:

[math] V_R (r) = \frac{ D^{(e)} }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r), [/math]

[math] V_A (r) = \frac{ D^{(e)} S }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2 / S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r). [/math]

Константы имеют значения: [math]D^{(e)} = 6.0[/math] eV, [math]S = 1.22[/math], [math]\beta = 21[/math] нм[math]^{-1} = 2.1 \,\mbox{Å}^{-1}[/math] и [math]R^{(e)} = 0.1390[/math] нм [math]= 1.390\,\mbox{Å}[/math]. Функция обрезания (cut-off function) [math]f_C (r)[/math] имеет вид:

[math] f_C (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{\pi(r - R^{(1)}) }{ (R^{(2)} - R^{(1)})}) \right],\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt R^{(1)}, \\ R^{(1)} \lt r \lt R^{(2)}, \\ r \gt R^{(2)}, \end{array} [/math]

где константы [math]R^{(1)} = 0.17[/math] нм [math]= 1.7 \,\mbox{Å}[/math] и [math]R^{(2)} = 0.2[/math] нм [math]= 2 \,\mbox{Å}[/math]. Параметр [math]\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} G(\theta_{ijk}) f_C(r_{ik}) \right]^{-\delta}, [/math]

где [math]\delta = 0.5[/math], [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G[/math] имеет вид:

[math] G (\theta) = a_0 \left[ 1 + \frac{c_0^2 }{ d_0^2} - \frac{c_0^2 }{ d_0^2 + (1 + \cos \theta)^2} \right], [/math]

где [math]a_0 = 0.000\,208\,13[/math], [math]c_0 = 330[/math] и [math]d_0 = 3.5[/math].

Потенциал Бреннера второго поколения[править]

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи в виде [6]:

[math] E_b = \sum_i \sum_{j (\gt i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right]. [/math]

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

[math] V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r}, [/math]

[math] V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r}, [/math]

где

[math] f^c (r) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \\ \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\ 0, \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} r \lt D_{\min}, \\ D_{\min} \lt r \lt D_{\max}, \\ r \gt D_{\max}, \end{array} [/math]

Параметры имеют вид:

[math] \begin{array}{l} B_1 = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1 = 4.720 452 3127 \,\mbox{Å}^{-1},\; Q = 0.313 460 296 0833 \,\mbox{Å},\\ B_2 = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{Å}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170 \,\mbox{eV},\\ B_3 = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3 = 1.382 691 2506 \,Å^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595 \,\mbox{Å}^{-1},\\ D_{\min} = 1.7 \,\mbox{Å},\; D_{\max} = 2.0 \,\mbox{Å}. \end{array} [/math]

Множитель [math]b_{ij}[/math] равен [math]b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2[/math], где

[math] B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk})) \right]^{-1/2}, [/math]

где [math]\theta_{ijk}[/math] – угол между связями, соединяющими атомы [math]i,j[/math] и [math]i,k[/math]. Функция [math]G(\cos\theta)[/math] строится как полином через значения функции и ее производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза ([math]\theta = \arccos(-1/3)[/math]) и графена ([math]\theta = 2 \pi / 3[/math]):

[math]\theta(rad)[/math] [math]G(\cos \theta)[/math] [math]dG(\cos \theta) / d\cos \theta[/math] [math]d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2[/math]
[math]0.6082\pi[/math] [math]0.097 33[/math] [math]0.400 00[/math] [math]1.980 00[/math]
[math]2\pi / 3[/math] [math]0.052 80[/math] [math]0.170 00[/math] [math]0.370 00[/math]

Литература[править]

  1. J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system // Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999 (2.50 Mb)
  2. J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882. (708 Kb)
  3. Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105 (937 Kb)
  4. D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471. (2.21 Mb) (Errata 102 Kb)
  5. C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.
  6. D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot. A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802. (144 Kb)

Ссылки[править]