Редактирование: Потенциалы Терсоффа, Бреннера

== Потенциал Терсоффа ==

Энергия системы частиц задается с помощью выражений <ref name="Tersoff1" /> <ref name="Tersoff2" /> <ref name="Erkoc" />:

<math>E = \sum_i E_i = \frac{1}{2} \sum_{i, j (\neq i)} V_{ij},</math>

где <math>i,j</math> – индексы частиц. <math>E</math> – полная потенциальная энергия;
<math>E_i</math> – энергия, приходящаяся на одну частицу; <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся
на пару частиц:

<math>V_{ij} = f_C (r_{ij})\left(f_R (r_{ij}) + b_{ij} f_A (r_{ij})\right),</math>

<math>r_{ij}</math> – расстояние между частицами <math>i,j</math>, <math>f_C (r)</math> –
функция обрезания (cutoff function):

<math>
    f_C (r) = \left\{
    \begin{array}{l}
        1,  \\
        \frac{1}{2} \left[ 1 - \sin(\frac{\pi(r - R)}{2D}) \right],\\
        0, \\
    \end{array} \right.
    \begin{array}{l}
        r < R - D, \\
        R - D < r < R + D, \\
        r > R + D,
    \end{array}
</math>

<math>f_R (r)</math> – функция отталкивания, <math>f_A (r)</math> – функция притяжения.
Выражения для функций притяжения и отталкивания
имеют вид:

<math>
    \begin{array}{c}
    f_R (r) = A \exp (-\lambda_1 r), \\
    f_A (r) = - B \exp (-\lambda_2 r).
    \end{array}
</math>

Коэффициент <math>b_{ij}</math> имеет вид:

<math>
    b_{ij} = (1 + \beta^n\zeta_{ij}^n)^{-1/(2n)},
</math>

<math>
    \zeta_{ij} = \sum_{k\neq i,j} f_C (r_{ik}) g (\theta_{ijk})
    \exp(\lambda_3^3 (r_{ij}-r_{ik})^3),
</math>

<math>
    g (\theta) = 1 + \frac{c^2}{d^2} - \frac{c^2}{d^2 + (h - \cos \theta)^2},
</math>

где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>.

Коэффициенты, используемые для атомов углерода:

<math>
    \begin{array}{l}
        A = 1393.6 \,\mbox{eV}, \\
        B = 346.74 \,\mbox{eV}, \\
        \lambda_1 = 3.4879 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\
        \lambda_2 = 2.2119 \,\mbox{\AA}^{-1}, \\
        \beta = 1.5724 \cdot 10^{-7}, \\
        n = 0.72751,
    \end{array}
    \begin{array}{l}
        c = 38049, \\
        d = 4.3484, \\
        h = -0.57058, \\
        R = 1.95 \,\mbox{\AA}, \\
        D = 0.15 \,\mbox{\AA}, \\
        \lambda_3 = 0.
    \end{array}
</math>

Коэффициенты, используемые для атомов кремния:

<math>
    \begin{array}{l}
        R = 3 \mbox{\AA}, \\
        A = 3264.7 \mbox{eV}, \\
        \lambda_1 = 3.2394 \mbox{\AA}, \\
        \beta = 0.33675, \\
        c = 4.8381,
    \end{array}
    \begin{array}{l}
        D = 0.2 \mbox{\AA}, \\
        B = 95.373 \mbox{eV}, \\
        \lambda_2 = \lambda_3 = 1.3258 \mbox{\AA}, \\
        n = 22956, \\
        d = 2.0417.
    \end{array}
    \begin{array}{l}
        h = 0,
    \end{array}
</math>

== Потенциал Терсоффа-Бреннера ==

(или потенциал Бреннера первого поколения)

При вычислении энергии межатомного взаимодействия с помощью потенциала
Терсоффа-Бреннера используются следующие выражения <ref name="Brenner1" /> <ref name="Reddy" />:

<math>
    V_B (r_{ij}) = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V_R (r_{ij}) - \overline{B_{ij}} V_A (r_{ij}) \right],
</math>

где <math>r_{ij}</math> – расстояние между частицами <math>i,j</math>.
<math>V_R (r)</math> и <math>V_A (r)</math> – функции отталкивания и притяжения,
имеющие вид:

<math>
    V_R (r) = \frac{ D^{(e)} }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r),
</math>

<math>
    V_A (r) = \frac{ D^{(e)} S }{ S - 1 } \exp (-\sqrt{2 / S} \beta (r - R^{(e)})) f_C (r).
</math>

Константы имеют значения: <math>D^{(e)} = 6.0</math> eV, <math>S = 1.22</math>,
<math>\beta = 21</math> нм<math>^{-1} = 2.1 \,\mbox{\AA}^{-1}</math>
и <math>R^{(e)} = 0.1390</math> нм <math>= 1.390\,\mbox{\AA}</math>.
Функция обрезания (cut-off function) <math>f_C (r)</math> имеет вид:

<math>
    f_C (r) = \left\{
    \begin{array}{l}
        1,  \\
        \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(\frac{\pi(r - R^{(1)}) }{ (R^{(2)} - R^{(1)})}) \right],\\
        0, \\
    \end{array} \right.
    \begin{array}{l}
        r < R^{(1)}, \\
        R^{(1)} < r < R^{(2)}, \\
        r > R^{(2)},
    \end{array}
</math>

где константы <math>R^{(1)} = 0.17</math> нм <math>= 1.7 \,\mbox{\AA}</math> и
<math>R^{(2)} = 0.2</math> нм <math>= 2 \,\mbox{\AA}</math>. Параметр 
<math>\overline{B_{ij}} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>, где

<math>
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} G(\theta_{ijk}) f_C(r_{ik})
    \right]^{-\delta},
</math>

где <math>\delta = 0.5</math>, <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G</math> имеет вид:

<math>
    G (\theta) = a_0 \left[ 1 + \frac{c_0^2 }{ d_0^2} - \frac{c_0^2 }{ d_0^2 + (1 + \cos \theta)^2} \right],
</math>

где <math>a_0 = 0.000\,208\,13</math>, <math>c_0 = 330</math> и <math>d_0 = 3.5</math>.

== Потенциал Бреннера второго поколения ==

Потенциал Бреннера второго поколения позволяет представить энергию связи
в виде <ref name="Brenner2"/>:

<math>
    E_b = \sum_i \sum_{j (> i)} \left[ V^R (r_{ij}) - b_{ij} V^A (r_{ij}) \right].
</math>

Между атомами углерода функции отталкивания и притяжения имеют вид:

<math>
    V^R (r) = f^c (r) (1 + Q / r) A e^{-\alpha r},
</math>

<math>
    V^A (r) = f^c (r) \sum_{n = 1,3} B_n e^{-\beta_n r},
</math>

где

<math>
    f^c (r) = \left\{
    \begin{array}{l}
        1,  \\
        \left[ 1 + \cos(\pi(r - D_{\min}) / (D_{\max} - D_{\min})) \right] / 2,\\
        0, \\
    \end{array} \right.
    \begin{array}{l}
        r < D_{\min}, \\
        D_{\min} < r < D_{\max}, \\
        r > D_{\max},
    \end{array}
</math>

Параметры имеют вид:

<math>
    \begin{array}{l}
    B_1  = 12 388.791 977 98 \,\mbox{eV},\; \beta_1  = 4.720 452 3127 \,\mbox{\AA}^{-1},\; Q = 0.313 460 296
    0833 \,\mbox{\AA},\\
    B_2  = 17.567 406 465 09 \,\mbox{eV},\; \beta_2 = 1.433 213 2499 \,\mbox{\AA}^{-1},\; A = 10 953.544 162 170
    \,\mbox{eV},\\
    B_3  = 30.714 932 080 65 \,\mbox{eV},\; \beta_3  = 1.382 691 2506 \,\AA^{-1},\; \alpha = 4.746 539 060 6595
    \,\mbox{\AA}^{-1},\\
     D_{\min}  = 1.7 \,\mbox{\AA},\; D_{\max}  = 2.0 \,\mbox{\AA}.
   \end{array}
</math>

Множитель <math>b_{ij}</math> равен <math>b_{ij} = (B_{ij} + B_{ji}) / 2</math>,
где

<math>
    B_{ij} = \left[ 1 + \sum_{k (\neq i, j)} f^c (r_{ik}) G(\cos(\theta_{ijk}))
    \right]^{-1/2},
</math>

где <math>\theta_{ijk}</math> – угол между связями, соединяющими атомы
<math>i,j</math> и <math>i,k</math>. Функция <math>G(\cos)</math> строится как полином через значения функции и ее
производных в точках, соответствующих равновесным конфигурациям алмаза (<math>\theta =
\arccos(-1/3)</math>) и графена (<math>\theta = 2 \pi / 3</math>):

{| class="wikitable"
|  <math>\theta(rad)</math>
|  <math>G(\cos \theta)</math>
|  <math>dG(\cos \theta) / d\cos \theta</math>
|  <math>d^2 G(\cos \theta) / d\cos \theta^2</math>
|-
|  <math>0.6082\pi</math>
|  <math>0.097 33</math>
|  <math>0.400 00</math>
|  <math>1.980 00</math>
|-
|  <math>2\pi / 3</math>
|  <math>0.052 80</math>
|  <math>0.170 00</math>
|  <math>0.370 00</math>
|}

== Литература ==

<references>

<ref name="Tersoff1">J.Tersoff, New empirical approach for the structure and energy of covalent system
// Phys.Rev. B (1988) V. 37, No 12, P.6991–6999[[Медиа:tersoff-silicon(main).pdf | (2.50 Mb)]]</ref>

<ref name="Tersoff2">J.Tersoff, Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous
Carbon // Phys.Rev. B. 1988. 61, 2879–2882.
[[Медиа:tersoff-carbon.pdf | (708 Kb)]]</ref>

<ref name="Erkoc">Sakir Erkoc, Empirical many-body potential energy functions used computer simulations
of condensed matter properties, Physics Reports 278 (1997), P. 79–105[[Медиа:Erkoc_1997.pdf | (937 Kb)]]</ref>

<ref name="Brenner1">D.W.Brenner. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the
Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys.Rev. B. 1990. V.42, pp. 9458–9471.
[[Медиа:brenner-phys-rev.pdf | (2.21 Mb)]] [[Медиа:brenner-errors.pdf | (Errata 102 Kb)]]</ref>

<ref name="Reddy">C.D.Reddy, S.Rajendran and K.M.Liew, Equilibrium configuration and continuum
elastic properties of finite sized graphene // Nanotechnology, 2006, 17, 864–870.</ref>

<ref name="Brenner2">D.W.Brenner, O.A.Shenderova, J.A.Harrison, S.J.Stuart, B.Ni, S.B.Sinnot.
A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for
hydrocarbons // J.Phys: Condens. Matter 14 (2002), 783–802.
[[Медиа:brenner2002.pdf | (144 Kb)]]</ref>

</references>

== Ссылки ==
* [[Многочастичные силовые потенциалы взаимодействия]]
* [[Потенциалы взаимодействия]]

[[Category:Взаимодействия]]
[[Category: Потенциальные взаимодействия]]