Построение фазовых траекторий — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «'''Фазовая плоскость''' — координатная плоскость, в которой по осям координат откладывают…»)
 
Строка 3: Строка 3:
 
Уравнение состояния системы имеет вид:
 
Уравнение состояния системы имеет вид:
  
<math>m\ddot x = -kx - μ\dot x</math>
+
<math>m\ddot x = -kx - μ\dot x </math>
  
 
Обозначим:
 
Обозначим:
  
<math>λ_{1,2}=\frac{-μ\pm\sqrt{μ^2 - 4mk}}{2m}\ </math>
+
<math>λ_{1,2}=\frac{-μ\pm\sqrt{μ^2 - 4mk}}{2m} </math>
  
 
корни характеристического уравнения:
 
корни характеристического уравнения:

Версия 03:49, 30 мая 2016

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией.

Уравнение состояния системы имеет вид:

[math]m\ddot x = -kx - μ\dot x [/math]

Обозначим:

[math]λ_{1,2}=\frac{-μ\pm\sqrt{μ^2 - 4mk}}{2m} [/math]

корни характеристического уравнения:

[math]mλ^2 + μλ + k = 0[/math]

Фазовые портреты зависят от параметров m, k, μ.

Частные случаи

  • При [math]μ^2 \gt 4mk\ [/math] (трение велико) оба корня характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные. Фазовый портрет типа "Устойчивый узел"
  • При [math]μ^2 = 4mk\ [/math] корень действительный отрицательный. Фазовый портрет типа "Вырожденный устойчивый узел"
  • При [math] 0 \lt μ^2 \lt 4mk\ [/math] (трение мало) имеем два комплексно сопряженных корня с отрицательный вещественной частью. Фазовый портрет типа "Фокус"
  • При [math]μ = 0, k \ne 0 [/math] (трение отсутствует) оба корня характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные. Фазовый портрет типа "Центр"
  • При [math]μ \ne 0, k = 0\ [/math] (Упругая сила отсутсвует) оба корня действительные, причем один отрицательный, а другой равен 0.