Редактирование: Переход к тепловому равновесию в гармонической ГЦК решетке

Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]

Исполнитель: [http://tm.spbstu.ru/%D0%9B%D1%8F%D0%B6%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%B9 Ляжков Сергей]

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

[[Файл: fcc.png|thumb|]]

===Постановка задачи===

Рассмотреть поведение кинетической температуры при переходе к тепловому равновесию в бесконечной гармонической гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке при следующих начальных условиях:

# Частицы имеют нулевые  перемещения.
# Частицы имеют случайные скорости.
# Распределение температуры - однородное.
# Кинетические температуры, соответствующие различным пространственным направлениям, не равны.

===Вывод уравнений===

Рассмотрим кристаллическую ГЦК решетку, состоящую из одинаковых частиц массой <math> m </math>, соединенных линейными пружинками жесткостью <math> c </math>. Уравнения движения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math> имеют следующий вид: <br /> <math> m \ddot{\textbf{u}}(\textbf{r}) = \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha  \textbf{u}(\textbf{r}+\textbf{a}_\alpha)</math>, <br />
где <math> \textbf{u}(\textbf{r}) = (u_x, u_y, u_z)^\top </math> - вектор-столбец, состоящий из компонент вектора перемещения частицы с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>,  <math> \textbf{a}_\alpha </math> - векторы, соединяющие частицу с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math> с ближайшими соседями. <math> \textbf{C}_\alpha </math> - матрицы, коэффициенты которых определяют вклад частицы номер <math>  \alpha </math> в суммарную силу, действующую на частицу с радиус-вектором <math> \textbf{r} </math>. <math> \alpha = \pm 1...\pm 6 </math>, <math> \textbf{C}_\alpha = c\textbf{n}_\alpha \textbf{n}_\alpha</math>.  <br />
Векторы <math> \textbf{n}_\alpha = \frac{\textbf{a}_\alpha}{|\textbf{a}_\alpha|}</math> в ГЦК решетке имеют следующий вид: <br />
<math> \textbf{n}_{\pm1}=\pm\frac{(\textbf{e}_x+\textbf{e}_y)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm4} = \pm(\textbf{n}_3-\textbf{n}_2) </math><br />
<math> \textbf{n}_{\pm2}=\pm\frac{(\textbf{e}_y+\textbf{e}_z)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm5} = \pm(\textbf{n}_1-\textbf{n}_3) </math><br />
<math> \textbf{n}_{\pm3}=\pm\frac{(\textbf{e}_x+\textbf{e}_z)}{\sqrt{2}}, \textbf{n}_{\pm6} = \pm(\textbf{n}_1-\textbf{n}_2) </math>, <br />
где <math> \textbf{e}_x, \textbf{e}_y, \textbf{e}_z </math> - орты декартового базиса, направленные вдоль осей кубической симметрии. <br/>
Сделаем следующую подстановку в уравнения движения для получения дисперсионного соотношения <math> \omega </math>: <br /> 
<math> \textbf{u}(\textbf{r}) = e^{\textrm{i}(\omega t + \textbf{k} \cdot \textbf{r})} </math>,
<br />
где <math> \textbf{k} </math> - волновой вектор, и получим следующее уравнение: <br />
<math> (\textbf{D}-\omega^2 \textbf{E})=0, \textbf{D} = -\frac{1}{m} \sum_\alpha \textbf{C}_\alpha e^{\textrm{i}{\textbf{k} \cdot \textbf{a}_\alpha}} </math>. <br/>
Таким образом, отыскание дисперсионного соотношения, необходимого для следующих формул, сводится к нахождению собственных чисел динамической матрицы <math> \textbf{D} </math>. <br/> Формула для для кинетической температуры <math> T </math>: <br/> 
<math> T = \frac{T_0}{2} + B_1 + B_2 + B_3, \quad B_j = \int_\textbf{k} (\textrm{cos} (2\omega_j t)) \textrm{d} \textbf{k} </math>, <br />
где <math> T_0 </math> - начальное значение кинетической температуры. Величина <math> T </math> описывает колебания температуры, связанные с выравниванием кинетической и потенциальной энергий, величины <math> B_j </math> определяют вклад веток дисперсионного соотношения в эти колебания. <br />
Рассмотрим бесконечное множество реализаций одного и того же кристалла. Кинетические температуры, соответствующие различным пространственным направлениям, в общем случае различаются. Следовательно, тепловое состояние описывается матричной температурой <math> \textbf{T}. </math> <br />
<math> k_B \textbf{T} = m <\dot{\textbf{u}}(\textbf{r})\dot{\textbf{u}}(\textbf{r})^\top> </math>, <br />
где <math> k_B </math> - постоянная Больцмана. <br />
Поведение матричной температуры описывается следующей точной формулой: <br />
<math> \textbf{T} = \int_\textbf{k} \textbf{P}\textbf{T}'\textbf{P}^\top, T'_{ij} = \frac{1}{2}(\textbf{P}^\top \textbf{T}_0 \textbf{P})_{ij}(\textrm{cos}((\omega_i+\omega_j)t)+\textrm{cos}((\omega_i-\omega_j)t)), </math> <br/>
где <math> \textbf{P} - </math> ортогональная матрица поляризации, составленная  из единичных собственных векторов матрицы <math> \textbf{D} </math>,
<math> \textbf{T}_0 </math> - начальное значение матричной температуры. <br/>
Матричная и кинетическая температуры связаны следующим образом: <br/>
<math> T = \frac{1}{3}\textrm{tr}\textbf{T}. </math>

===Результаты===

Вклады веток дисперсионного соотношения в колебания температуры:
[[File:disp_stt.png|center]]

Колебания кинетической температуры, связанные с выравниванием кинетической и потенциальной энергий:
[[File:K_gck_ftt.png|center]]

Перераспределение кинетической температуры по пространственным направлениям:
[[File:redistrib_ftt.png|center]]

Линии - аналитическое решения по формулам, представленным в нижеприведенной статье, точки - численное решение уравнения динамики решетки.

===Текст статьи===
[http://mech.spbstu.ru/File:FCC_stt.pdf Переход к тепловому равновесию в гармонической гранецентрированной кубической решетке]

===Неделя науки 2018===

Данный проект был представлен на конференции "Неделя науки 2018".

[http://mech.spbstu.ru/File:Poster_NN.pdf Постер]

===См.также===

[http://tm.spbstu.ru/%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D1%8B_%D0%BF%D0%BE_%D0%92%D0%9C%D0%94%D0%A1:_2018-2019 Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019]