Редактирование: Перераспределение энергии по пространственным направлениям в кристаллах

'''''Выпускная квалификационная работа'''''

'''Направление:''' 01.03.03 – «Механика и математическое моделирование»

'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]]

'''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]]

Материалы:
* [[Медиа: Шварёв Н.Г._edited_3.pdf|диплом]]
* [[Медиа: PosterMeow.pdf|постер]]
* [[Медиа: ЗащитаMeow.pdf|презентация]]

==Введение==

Количественное описание неравновесных тепловых процессов в кристаллах – одна из актуальных проблем современной физики. Это связано со стремительным развитием нанотехнологий. В связи с этим большой интерес представляют процессы, происходящие в твердых телах при переходе к состоянию термодинамического равновесия. Неравновесное состояние может быть вызвано, к примеру, прохождением ударных волн или быстрым лазерным воздействием. Тогда кинетические энергии теплового движения атомов в разных направлениях могут значительно различаться. Это, в свою очередь, показывает, что кинетическая температура может проявлять тензорные свойства. На фронте ударной волны, распространяющейся вдоль одной из осей, например, оси X, выполняются следующее соотношение:

<math>\widehat T_{xx} > \widehat T_{yy} </math>, 

где <math>\widehat T_{xx}= \frac{{m<v_x^2>}}{k_B}, \widehat T_{yy}= \frac{{m<v_y^2>}}{k_B}</math> - кинетические температуры вдоль соответствующих направлений, <math>k_B</math> - постоянная Больцмана.

При переходе к равновесному состоянию в кристалле реализуется два процесса:

1)Выравнивание кинетической и потенциальной энергий;

2)Перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.

Данная работа посвящена численному описанию перераспределения кинетической энергии по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой.

Далее будет рассматриваться обезразмеренное значение температуры: 
<math> T_{xx} = \frac{\widehat T_{xx}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o}, T_{yy} = \frac{\widehat T_{yy}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o} </math>,

где <math> \widehat T_{xx}^o , \widehat T_{yy}^o </math> - значения в начальный момент времени <math> \widehat T_{xx}, \widehat T_{yy} </math> соответственно

Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math>

Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.


==Цели и задачи работы==

Целью данной работы является проведение компьютерного моделирования перераспределения кинетической по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой. В связи с поставленной целью решаются следующие задачи:

• рассмотрение процесса выравнивания температур;

• рассмотрение влияния нелинейности на поведение системы;

• выделение медленного процесса, вызываемого нелинейностью;

• определение формы выделенного медленного процесса.


==Модель двумерного кристалла==

[[File:Triangular_lattice_10x10.png|thumbnail|Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы]]

• Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]].

• Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]].

• Задаются следующие начальные условия:

<math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>.

В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей. 

• Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.


==Выравнивание температуры==


<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
Файл:Temperature equalization.png|Рис.2. Поведение кинетической температуры при усреднении по 100 реализациям
</gallery>

Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.

На начальном интервале в несколько периодов <math>τ_o</math> происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.


<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
Файл:Redistribution_of_energy.png|Рис.3. График перераспределения кинетической температуры по направлениям
</gallery>


==Степень влияния нелинейности==

Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.


<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
Файл:Influence_of_nonlinearity.png|Рис.4. Степень влияния нелинейности
</gallery>

Видно, что скорость <math>0.0001v_o</math> настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию:
<math>\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)</math>,

а при скорости <math>0.01v_o</math> разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.


==Вывод формулы подобия==

Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.

<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
Файл:Stretched_0.02.png|Рис.5. <math>0.01v_o</math> и <math>0.02_vo</math>, растянутый в 4 раза вдоль горизонтальной оси
</gallery>

<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
Файл:Stretched_0.03.png|Рис.6. <math>0.01v_o</math> и <math>0.03_vo</math>, растянутый в 9 раз вдоль горизонтальной оси
</gallery>

<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
Файл:Stretched_0.04.png|Рис.7. <math>0.01v_o</math> и <math>0.04_vo</math>, растянутый в 16 раз вдоль горизонтальной оси
</gallery>

<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
Файл:Stretched_0.05.png|Рис.8. <math>0.01v_o</math> и <math>0.05_vo</math>, растянутый в 25 раз вдоль горизонтальной оси
</gallery>

Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время: 
<math> t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 </math>,

где <math> v_{max2} > v_{max1} </math>.


Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:

<math>∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) </math>,

<math>t ≥ 10 τ_o </math>, 

где за <math> ∆T</math> принята разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math>


==Выделение медленного процесса==


==Заключение==



Автор благодарен [[Старобинский Егор|Е.Б. Старобинскому]] за полезные обсуждения.

==Список литературы==