| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | '''''Выпускная квалификационная работа''''' | | '''''Выпускная квалификационная работа''''' |
| − |
| |
| − | '''Направление:''' 01.03.03 – «Механика и математическое моделирование»
| |
| | | | |
| | '''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]] | | '''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]] |
| Строка 7: |
Строка 5: |
| | '''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]] | | '''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]] |
| | | | |
| − | Материалы:
| |
| − | * [[Медиа: Шварёв Н.Г._edited_3.pdf|диплом]]
| |
| − | * [[Медиа: PosterMeow.pdf|постер]]
| |
| − | * [[Медиа: ЗащитаMeow.pdf|презентация]]
| |
| | | | |
| | ==Введение== | | ==Введение== |
| Строка 34: |
Строка 28: |
| | | | |
| | Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math> | | Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math> |
| − |
| |
| − | Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.
| |
| | | | |
| | | | |
| Строка 53: |
Строка 45: |
| | ==Модель двумерного кристалла== | | ==Модель двумерного кристалла== |
| | | | |
| − | [[File:Triangular_lattice_10x10.png|thumbnail|Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы]] | + | Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]]. |
| | | | |
| − | • Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]].
| + | Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]]. |
| | | | |
| − | • Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]].
| + | Задаются следующие начальные условия: |
| − | | |
| − | • Задаются следующие начальные условия:
| |
| | | | |
| | <math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>. | | <math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>. |
| Строка 65: |
Строка 55: |
| | В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей. | | В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей. |
| | | | |
| − | • Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.
| + | Используются периодические граничные условия Борна-Кармана. |
| − | | |
| − | | |
| − | ==Выравнивание температуры==
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Temperature equalization.png|Рис.2. Поведение кинетической температуры при усреднении по 100 реализациям
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.
| |
| − | | |
| − | На начальном интервале в несколько периодов <math>τ_o</math> происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Redistribution_of_energy.png|Рис.3. График перераспределения кинетической температуры по направлениям
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ==Степень влияния нелинейности==
| |
| − | | |
| − | Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | <gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Influence_of_nonlinearity.png|Рис.4. Степень влияния нелинейности
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | Видно, что скорость <math>0.0001v_o</math> настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию:
| |
| − | <math>\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)</math>,
| |
| − | | |
| − | а при скорости <math>0.01v_o</math> разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ==Вывод формулы подобия==
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.
| |
| − | | |
| − | <gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Stretched_0.02.png|Рис.5. <math>0.01v_o</math> и <math>0.02v_o</math>, растянутый в 4 раза вдоль горизонтальной оси
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | <gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Stretched_0.03.png|Рис.6. <math>0.01v_o</math> и <math>0.03v_o</math>, растянутый в 9 раз вдоль горизонтальной оси
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | <gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Stretched_0.04.png|Рис.7. <math>0.01v_o</math> и <math>0.04v_o</math>, растянутый в 16 раз вдоль горизонтальной оси
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | <gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
| |
| − | Файл:Stretched_0.05.png|Рис.8. <math>0.01v_o</math> и <math>0.05v_o</math>, растянутый в 25 раз вдоль горизонтальной оси
| |
| − | </gallery>
| |
| − | | |
| − | Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время:
| |
| − | <math> t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 </math>,
| |
| − | | |
| − | где <math> v_{max2} > v_{max1} </math>.
| |
| − | | |
| − | | |
| − | Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:
| |
| − | | |
| − | <math>∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) </math>,
| |
| − | | |
| − | <math>t ≥ 10 τ_o </math>,
| |
| − | | |
| − | где за <math> ∆T</math> принята разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math>
| |
| − | | |
| − | ==Выделение медленного процесса==
| |
| − | | |
| − | | |
| − | ==Заключение==
| |
| − | | |
| − | | |
| − | | |
| − | Автор благодарен [[Старобинский Егор|Е.Б. Старобинскому]] за полезные обсуждения.
| |
| − | | |
| − | ==Список литературы==
| |
