Редактирование: Перераспределение энергии по пространственным направлениям в кристаллах

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Выпускная квалификационная работа'''''
 
'''''Выпускная квалификационная работа'''''
 
'''Направление:''' 01.03.03 – «Механика и математическое моделирование»
 
  
 
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]]
 
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Шварёв Николай|Н.Г. Шварёв]]
Строка 7: Строка 5:
 
'''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]]
 
'''Руководитель:''' кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры [[Теоретическая механика]] [[Виталий Кузькин|В.А. Кузькин]]
  
Материалы:
 
* [[Медиа: Шварёв Н.Г._edited_3.pdf|диплом]]
 
* [[Медиа: PosterMeow.pdf|постер]]
 
* [[Медиа: ЗащитаMeow.pdf|презентация]]
 
  
 
==Введение==
 
==Введение==
Строка 34: Строка 28:
  
 
Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math>
 
Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: <math> T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y </math>
 
Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.
 
  
  
Строка 43: Строка 35:
  
 
• рассмотрение процесса выравнивания температур;
 
• рассмотрение процесса выравнивания температур;
 
 
• рассмотрение влияния нелинейности на поведение системы;
 
• рассмотрение влияния нелинейности на поведение системы;
 
 
• выделение медленного процесса, вызываемого нелинейностью;
 
• выделение медленного процесса, вызываемого нелинейностью;
 
+
• определение формы выделенного медленного процесса
• определение формы выделенного медленного процесса.
 
 
 
 
 
==Модель двумерного кристалла==
 
 
 
[[File:Triangular_lattice_10x10.png|thumbnail|Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы]]
 
 
 
• Рассматривается [[Треугольная кристаллическая решетка]].
 
 
 
• Для взаимодействия между частицами используется [[Потенциал Леннард-Джонса]].
 
 
 
• Задаются следующие начальные условия:
 
 
 
<math>v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0</math>.
 
 
 
В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением <math>v_{max}</math>, нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей.
 
 
 
• Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.
 
 
 
 
 
==Выравнивание температуры==
 
 
 
 
 
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Temperature equalization.png|Рис.2. Поведение кинетической температуры при усреднении по 100 реализациям
 
</gallery>
 
 
 
Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.
 
 
 
На начальном интервале в несколько периодов <math>τ_o</math> происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.
 
 
 
 
 
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Redistribution_of_energy.png|Рис.3. График перераспределения кинетической температуры по направлениям
 
</gallery>
 
 
 
 
 
==Степень влияния нелинейности==
 
 
 
Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.
 
 
 
 
 
<gallery widths=400px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Influence_of_nonlinearity.png|Рис.4. Степень влияния нелинейности
 
</gallery>
 
 
 
Видно, что скорость <math>0.0001v_o</math> настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию:
 
<math>\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)</math>,
 
 
 
а при скорости <math>0.01v_o</math> разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math> уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.
 
 
 
 
 
==Вывод формулы подобия==
 
 
 
Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.
 
 
 
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Stretched_0.02.png|Рис.5. <math>0.01v_o</math> и <math>0.02v_o</math>, растянутый в 4 раза вдоль горизонтальной оси
 
</gallery>
 
 
 
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Stretched_0.03.png|Рис.6. <math>0.01v_o</math> и <math>0.03v_o</math>, растянутый в 9 раз вдоль горизонтальной оси
 
</gallery>
 
 
 
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Stretched_0.04.png|Рис.7. <math>0.01v_o</math> и <math>0.04v_o</math>, растянутый в 16 раз вдоль горизонтальной оси
 
</gallery>
 
 
 
<gallery widths=450px heights=300px perrow = 1>
 
Файл:Stretched_0.05.png|Рис.8. <math>0.01v_o</math> и <math>0.05v_o</math>, растянутый в 25 раз вдоль горизонтальной оси
 
</gallery>
 
 
 
Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время:
 
<math> t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 </math>,
 
 
 
где <math> v_{max2} > v_{max1} </math>.
 
 
 
 
 
Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:
 
 
 
<math>∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) </math>,
 
 
 
<math>t ≥ 10 τ_o </math>,
 
 
 
где за <math> ∆T</math> принята разность <math>T_{xx}-T_{yy}</math>
 
 
 
==Выделение медленного процесса==
 
 
 
 
 
==Заключение==
 
 
 
 
 
 
 
Автор благодарен [[Старобинский Егор|Е.Б. Старобинскому]] за полезные обсуждения.
 
 
 
==Список литературы==
 
Вам запрещено изменять защиту статьи. Edit Создать редактором

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)