Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке — различия между версиями
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Anpolol (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке''' <HR> | ||
+ | |||
+ | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]''''' | ||
+ | |||
+ | '''Исполнитель:''' [[Белоусова Екатерина]] | ||
+ | |||
+ | '''Группа:''' 43604/1 | ||
+ | |||
+ | '''Семестр:''' осень 2018 | ||
+ | |||
=Постановка задачи= | =Постановка задачи= | ||
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. | Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. | ||
Строка 59: | Строка 69: | ||
[[File:M1=1 m2=1.3 b=1..jpg|center]] | [[File:M1=1 m2=1.3 b=1..jpg|center]] | ||
− | |||
− | |||
== См. также == | == См. также == | ||
[[Кафедра "Теоретическая механика"]] | [[Кафедра "Теоретическая механика"]] |
Версия 14:06, 11 января 2019
Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочкеКурсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Белоусова Екатерина
Группа: 43604/1
Семестр: осень 2018
Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.
Решение
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:
Запишем систему уравнений движения атомов массой и :
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
Система решалась в Matlab методом конечных разностей.
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени.
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (
и ):Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее.
При одинаковой массе частиц:
b=0.01
b=0.1
b=0.5
b=1
Разные массы частиц (
b=0.01
b=0.1
b=0.5
b=1