Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Решение)
(→‎Выводы)
 
(не показано 19 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
=Постановка задачи=
+
[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке''' <HR>
 +
 
 +
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 +
 
 +
'''Исполнитель:''' [[Белоусова Екатерина]]
 +
 
 +
'''Группа:''' 43604/1
 +
 
 +
'''Семестр:''' осень 2018
 +
 
 +
===Постановка задачи===
 +
 
 
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.
 
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.
−
=Решение=
+
 
−
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево (рис.1).
+
===Решение===
−
[[File:Geogebra-export.png|thumb]]
+
 
 +
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_n </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math>. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
 +
[[File:Ри1111.png|center]]
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
 
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
−
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:
+
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br />
 +
<math>
 +
    F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})
 +
</math><br />
 +
Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>:<br />
 +
<math>
 +
  m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2})
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
  m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1})
 +
</math><br />
 +
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.<br />
 +
<math>
 +
  u_{n}(t=0)=0
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
  v_n(t=0) - случайные
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
  u_{n+N}=u_n
 +
</math><br />
 +
<math>
 +
  u_N=u_0
 +
</math><br />
 +
Система решалась в Matlab методом конечных разностей.
 +
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени.
 +
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
 +
[[File:Одинаковые массы..jpg|center]]
 +
Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):
 +
[[File:M1=1 m2=1.3..jpg|center]]
 +
Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:<br />
 +
<math>
 +
    F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})+b(u_{n+1}-u_n)^3-b(u_{n}-u_{n-1})^3
 +
</math><br />
 +
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее.
 +
При одинаковой массе частиц:
 +
b=0.01
 +
[[File:B=0.01...jpg|center]]
 +
b=0.1
 +
[[File:B=0.1..jpg|center]]
 +
b=0.5
 +
[[File:B=0.5..jpg|center]]
 +
b=1
 +
[[File:B=1..jpg|center]]
 +
Разные массы частиц (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):<br />
 +
b=0.01
 +
[[File:M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg|center]]
 +
b=0.1
 +
[[File:0.1..jpg|center]]
 +
b=0.5
 +
[[File:M1=1 m2=1.3 b=0.5..jpg|center]]
 +
b=1
 +
[[File:M1=1 m2=1.3 b=1..jpg|center]]
 +
 
 +
===Выводы===
 +
 
 +
Таким образом, в ходе реализации данной работы можно сделать следующие выводы:
 +
 
 +
1. Для линейной системы с равными массами частиц график распределения кинетической энергии совпадает с функцией Бесселя нулевого порядка;
 +
 
 +
2. Для нелинейной системы с увеличением коэффициента нелинейности кинетическая энергия стабилизируется на большем значении, чем для линейной системы.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
 
 +
*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
 +
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
 +
*[[Введение в механику дискретных сред]]

Текущая версия на 11:37, 24 января 2019

Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке

Курсовой проект по Механике дискретных сред

Исполнитель: Белоусова Екатерина

Группа: 43604/1

Семестр: осень 2018

Постановка задачи[править]

Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.

Решение[править]

Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами [math] m_{1} [/math] и [math] m_{2} [/math]. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома [math] u_n [/math], а атома, отстоящего от него на p узлов, [math] u_{n+p} [/math]. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.

Ри1111.png

Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:
[math] F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}) [/math]
Запишем систему уравнений движения атомов массой [math] m_{1} [/math] и [math] m_{2} [/math]:
[math] m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2}) [/math]
[math] m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1}) [/math]
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
[math] u_{n}(t=0)=0 [/math]
[math] v_n(t=0) - случайные [/math]
[math] u_{n+N}=u_n [/math]
[math] u_N=u_0 [/math]
Система решалась в Matlab методом конечных разностей. В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:

Одинаковые массы..jpg

Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид ([math] m_{1}=1 [/math] и [math] m_{2}=1.3 [/math]):

M1=1 m2=1.3..jpg

Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:
[math] F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})+b(u_{n+1}-u_n)^3-b(u_{n}-u_{n-1})^3 [/math]
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. При одинаковой массе частиц: b=0.01

B=0.01...jpg

b=0.1

B=0.1..jpg

b=0.5

B=0.5..jpg

b=1

B=1..jpg

Разные массы частиц ([math] m_{1}=1 [/math] и [math] m_{2}=1.3 [/math]):
b=0.01

M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg

b=0.1

0.1..jpg

b=0.5

M1=1 m2=1.3 b=0.5..jpg

b=1

M1=1 m2=1.3 b=1..jpg

Выводы[править]

Таким образом, в ходе реализации данной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для линейной системы с равными массами частиц график распределения кинетической энергии совпадает с функцией Бесселя нулевого порядка;

2. Для нелинейной системы с увеличением коэффициента нелинейности кинетическая энергия стабилизируется на большем значении, чем для линейной системы.

См. также[править]

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Перераспределение_энергии_между_степенями_свободы_в_нелинейной_двухатомной_цепочке&oldid=52538»