Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке — различия между версиями
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Решение) |
Anpolol (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
=Решение= | =Решение= | ||
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево (рис.1). | Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево (рис.1). | ||
| − | [[File:Geogebra-export.png | + | [[File:Geogebra-export.png|center]] |
| + | |||
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | ||
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде: | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде: | ||
| − | [[File:Формула1.jpg | + | [[File:Формула1.jpg|center]] |
Тогда суммарная сила, действующая на n-й атом со стороны соседних атомов, будет: | Тогда суммарная сила, действующая на n-й атом со стороны соседних атомов, будет: | ||
| − | [[File:Формула2.jpg | + | [[File:Формула2.jpg|center]] |
Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: | Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: | ||
| − | [[File:Формула3.jpg | + | [[File:Формула3.jpg|center]] |
Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений: | Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений: | ||
| − | [[File:Формула4.jpg | + | [[File:Формула4.jpg|center]] |
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | ||
| − | [[File:Формула5.jpg | + | [[File:Формула5.jpg|center]] |
От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7): | От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7): | ||
| − | [[File:Формула6.jpg | + | [[File:Формула6.jpg|center]] |
| − | [[File:Формула7.jpg | + | [[File:Формула7.jpg|center]] |
Система (6) решалась в Matlab методом конечных элементов Эйлера. | Система (6) решалась в Matlab методом конечных элементов Эйлера. | ||
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | ||
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | ||
Версия 00:59, 24 декабря 2018
Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.
Решение
Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево (рис.1).
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде:
Тогда суммарная сила, действующая на n-й атом со стороны соседних атомов, будет:
Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом:
Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений:
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.
От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7):
Система (6) решалась в Matlab методом конечных элементов Эйлера. В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
