Редактирование: Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Белоусова Екатерина]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===

Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени.

===Решение===

Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_n </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math>. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
[[File:Ри1111.png|center]]
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели.
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br />
<math>
    F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})
</math><br />
Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>:<br />
<math>
   m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2})
</math><br />
<math>
   m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1})
</math><br />
В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.<br />
<math>
   u_{n}(t=0)=0
</math><br />
<math>
   v_n(t=0) - случайные
</math><br />
<math>
   u_{n+N}=u_n
</math><br />
<math>
   u_N=u_0
</math><br />
Система решалась в Matlab методом конечных разностей.
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. 
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
[[File:Одинаковые массы..jpg|center]]
Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):
[[File:M1=1 m2=1.3..jpg|center]]
Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:<br />
<math>
    F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})+b(u_{n+1}-u_n)^3-b(u_{n}-u_{n-1})^3
</math><br />
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее.
При одинаковой массе частиц:
b=0.01
[[File:B=0.01...jpg|center]]
b=0.1
[[File:B=0.1..jpg|center]]
b=0.5
[[File:B=0.5..jpg|center]]
b=1
[[File:B=1..jpg|center]]
Разные массы частиц (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):<br />
b=0.01
[[File:M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg|center]]
b=0.1
[[File:0.1..jpg|center]]
b=0.5
[[File:M1=1 m2=1.3 b=0.5..jpg|center]]
b=1
[[File:M1=1 m2=1.3 b=1..jpg|center]]

===Выводы===
Таким образом, в ходе реализации данной работы мы видим, что с увеличением коэффициента нелинейности энергия быстрее стабилизируется, при этом, это значение энергии находится немного выше, чем в случае линейной системы, что связано с наличием потенциальной энергии.
Для случая, когда частицы имеют равную массу, график распределения энергии совпадает с функцией Бесселя нулевого порядка.


== См. также ==

*[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]