Редактирование: Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br /> | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br /> | ||
<math> | <math> | ||
| − | F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}) | + | F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}) (1) |
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math> | + | Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math><br /> |
<math> | <math> | ||
m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2}) | m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2}) | ||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1}) | m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1}) | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
| − | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | + | Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: |
| − | + | [[File:Формула3.jpg|center]] | |
| − | + | Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений: | |
| − | + | [[File:Формула4.jpg|center]] | |
| − | + | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | |
| − | + | [[File:Формула5.jpg|center]] | |
| − | + | От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7): | |
| − | + | [[File:Формула6.jpg|center]] | |
| − | + | [[File:Формула7.jpg|center]] | |
| − | + | Система (6) решалась в Matlab методом конечных разностей. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | Система решалась в Matlab методом конечных разностей. | ||
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | ||
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | ||
[[File:Одинаковые массы..jpg|center]] | [[File:Одинаковые массы..jpg|center]] | ||
| − | Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид ( | + | Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (m1=1, m2=1.3): |
[[File:M1=1 m2=1.3..jpg|center]] | [[File:M1=1 m2=1.3..jpg|center]] | ||
| − | Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка: | + | Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка: |
| − | + | [[File:8ы.jpg|center]] | |
| − | |||
| − | |||
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. | Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. | ||
При одинаковой массе частиц: | При одинаковой массе частиц: | ||
| Строка 62: | Строка 56: | ||
b=1 | b=1 | ||
[[File:B=1..jpg|center]] | [[File:B=1..jpg|center]] | ||
| − | Разные массы частиц ( | + | Разные массы частиц (m1=1, m2=1.3): |
b=0.01 | b=0.01 | ||
[[File:M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg|center]] | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg|center]] | ||
