Редактирование: Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | =Постановка задачи= | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. | Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. | ||
| − | + | =Решение= | |
| − | + | Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево. | |
| − | |||
| − | Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами | ||
[[File:Ри1111.png|center]] | [[File:Ри1111.png|center]] | ||
Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | ||
| − | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. | + | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде: |
| − | + | [[File:Формула1.jpg|center]] | |
| − | + | Тогда суммарная сила, действующая на n-й атом со стороны соседних атомов, будет: | |
| − | + | [[File:Формула2.jpg|center]] | |
| − | + | Уравнение движения n-го атома под действием силы F_n выглядит следующим образом: | |
| − | + | [[File:Формула3.jpg|center]] | |
| − | + | Аналогичное уравнение записывается для частиц с массой m1. Таким образом получим систему уравнений: | |
| − | + | [[File:Формула4.jpg|center]] | |
| − | + | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | |
| − | + | [[File:Формула5.jpg|center]] | |
| − | + | От системы (4) с начальными и граничными условиями (5) мы перешли к системе (6, 7): | |
| − | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения. | + | [[File:Формула6.jpg|center]] |
| − | + | [[File:Формула7.jpg|center]] | |
| − | + | Система (6) решалась в Matlab методом конечных разностей. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | Система решалась в Matlab методом конечных разностей. | ||
В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени. | ||
Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | Для частиц одинаковой массы был получен следующий график: | ||
| − | [[File:Одинаковые | + | [[File:Одинаковые массы1.jpg|center]] |
| − | Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид ( | + | Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (m1=1, m2=1.3): |
| − | [[File:M1=1 m2=1. | + | [[File:M1=1 m2=1.32.jpg|center]] |
| − | Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка: | + | Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка: |
| − | + | [[File:8ы.jpg|center]] | |
| − | |||
| − | |||
Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. | Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее. | ||
При одинаковой массе частиц: | При одинаковой массе частиц: | ||
b=0.01 | b=0.01 | ||
| − | [[File:B=0. | + | [[File:B=0.013.jpg|center]] |
b=0.1 | b=0.1 | ||
| − | [[File:B=0. | + | [[File:B=0.13.jpg|center]] |
b=0.5 | b=0.5 | ||
| − | [[File:B=0. | + | [[File:B=0.55.jpg|center]] |
b=1 | b=1 | ||
| − | [[File:B= | + | [[File:B=16.jpg|center]] |
| − | Разные массы частиц ( | + | Разные массы частиц (m1=1, m2=1.3): |
b=0.01 | b=0.01 | ||
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0. | + | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.017.jpg|center]] |
b=0.1 | b=0.1 | ||
| − | [[File:0. | + | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.18.jpg|center]] |
b=0.5 | b=0.5 | ||
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0. | + | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.59.jpg|center]] |
b=1 | b=1 | ||
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b= | + | [[File:M1=1 m2=1.3 b=110.jpg|center]] |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | = Участники проекта = | |
| − | + | [http://tm.spbstu.ru/%D0%91%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%95%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Белоусова Екатерина] | |
| − | |||
== См. также == | == См. также == | ||
| − | + | [[Кафедра "Теоретическая механика"]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
