| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке''' <HR>
| + | =Постановка задачи= |
| − | | |
| − | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
| |
| − | | |
| − | '''Исполнитель:''' [[Белоусова Екатерина]]
| |
| − | | |
| − | '''Группа:''' 43604/1
| |
| − | | |
| − | '''Семестр:''' осень 2018
| |
| − | | |
| − | ===Постановка задачи===
| |
| − | | |
| | Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. | | Рассмотреть перераспределение энергии между степенями свободы в нелинейной двухатомной цепочке, построить графики зависимости энергии частиц от времени. |
| | + | =Решение= |
| | + | Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами m1 и m2. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома un, а атома, отстоящего от него на p узлов, – un+p. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево (рис.1). |
| | | | |
| − | ===Решение===
| + | [[File:Geogebra-export.png|thumb]] |
| | | | |
| − | Рассмотрим модель колебаний одномерной двухатомной цепочки массами <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>. Пусть в этой цепочке находится N атомов. Обозначим смещение n-го атома <math> u_n </math>, а атома, отстоящего от него на p узлов, <math> u_{n+p} </math>. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения равновесия, а отрицательных – влево.
| |
| − | [[File:Ри1111.png|center]]
| |
| | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. | | Каждый атом смещается только вдоль цепочки, что следует из требования одномерности модели. |
| − | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. Суммарную силу, действующую на n-й атом со стороны соседних атомов, можно представить в виде:<br /> | + | Пусть атомы связаны между собой упругой силой F с коэффициентом упругости с. Найдем уравнение движения n-го и n+1-го атома в цепи. В равновесном положении силы, действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый n-й атом будет действовать сила со стороны соседних атомов. В соответствии с элементарным законом Гука эту силу можно представить в виде: |
| − | <math>
| |
| − | F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})
| |
| − | </math><br />
| |
| − | Запишем систему уравнений движения атомов массой <math> m_{1} </math> и <math> m_{2} </math>:<br />
| |
| − | <math>
| |
| − | m_{1} \frac{d^2 u_{2n-1}}{dt^2}=c(u_{2n}-2u_{2n-1}+u_{2n-2})
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | m_{2} \frac{d^2 u_{2n}}{dt^2}=c(u_{2n+1}-2u_{2n}+u_{2n-1})
| |
| − | </math><br />
| |
| − | В качестве начальных условий заданы случайные начальные скорости таким образом, что средняя скорость всех частиц равна 0. Перемещения всех частиц в начальный момент времени равны нулю. Также заданы периодические граничные условия на перемещения.<br />
| |
| − | <math>
| |
| − | u_{n}(t=0)=0
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | v_n(t=0) - случайные
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | u_{n+N}=u_n
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | u_N=u_0
| |
| − | </math><br />
| |
| − | Система решалась в Matlab методом конечных разностей.
| |
| − | В задаче на каждом шаге по времени находилась кинетическая энергия всей системы, после чего был построен график зависимости энергии системы от времени.
| |
| − | Для частиц одинаковой массы был получен следующий график:
| |
| − | [[File:Одинаковые массы..jpg|center]]
| |
| − | Если рассматривать частицы разной массы, то график зависимости будет иметь следующий вид (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):
| |
| − | [[File:M1=1 m2=1.3..jpg|center]]
| |
| − | Рассмотрим нелинейную постановку задачи. В выражении для силы будет присутствовать слагаемое третьего порядка:<br />
| |
| − | <math>
| |
| − | F_n=F_{n,n+1}-F_{n-1,n}=c(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})+b(u_{n+1}-u_n)^3-b(u_{n}-u_{n-1})^3
| |
| − | </math><br />
| |
| − | Решается данная задача в нелинейной постановке аналогичным образом. если мы возьмем нелинейный коэффициент b равным нулю, получим решение, соответствующее предыдущей задаче. Начнем постепенно увеличивать коэффициент b и заметим, что система начнет затухать быстрее.
| |
| − | При одинаковой массе частиц:
| |
| − | b=0.01
| |
| − | [[File:B=0.01...jpg|center]]
| |
| − | b=0.1
| |
| − | [[File:B=0.1..jpg|center]]
| |
| − | b=0.5
| |
| − | [[File:B=0.5..jpg|center]]
| |
| − | b=1
| |
| − | [[File:B=1..jpg|center]]
| |
| − | Разные массы частиц (<math> m_{1}=1 </math> и <math> m_{2}=1.3 </math>):<br />
| |
| − | b=0.01
| |
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.01..jpg|center]]
| |
| − | b=0.1
| |
| − | [[File:0.1..jpg|center]]
| |
| − | b=0.5
| |
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b=0.5..jpg|center]]
| |
| − | b=1
| |
| − | [[File:M1=1 m2=1.3 b=1..jpg|center]]
| |
| − | | |
| − | ===Выводы===
| |
| − | | |
| − | Таким образом, в ходе реализации данной работы можно сделать следующие выводы:
| |
| − | | |
| − | 1. Для линейной системы с равными массами частиц график распределения кинетической энергии совпадает с функцией Бесселя нулевого порядка;
| |
| − | | |
| − | 2. Для нелинейной системы с увеличением коэффициента нелинейности кинетическая энергия стабилизируется на большем значении, чем для линейной системы.
| |
| − | | |
| − | == См. также ==
| |
| − | | |
| − | *[[Кафедра "Теоретическая механика"]]
| |
| − | *[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
| |
| − | *[[Введение в механику дискретных сред]]
| |
