Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы — различия между версиями
Anpolol (обсуждение | вклад) (→Обезразмеривание энергии) |
Anpolol (обсуждение | вклад) (→top) |
||
(не показано 7 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободы''' <HR> | ||
+ | |||
+ | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]''''' | ||
+ | |||
+ | '''Исполнитель:''' [[Андреева Полина]] | ||
+ | |||
+ | '''Группа:''' 43604/1 | ||
+ | |||
+ | '''Семестр:''' осень 2018 | ||
+ | |||
===Постановка задачи=== | ===Постановка задачи=== | ||
Строка 76: | Строка 86: | ||
Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела: | Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела: | ||
<math> | <math> | ||
− | y_{i} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | + | \ddot{y_{i}} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) |
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | \phi_{i} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | + | \ddot{\phi_{i}} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) |
</math><br /> | </math><br /> | ||
Строка 144: | Строка 154: | ||
<math> | <math> | ||
\overline{T_t} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2} | \overline{T_t} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2} | ||
− | </math><br /> | + | </math><br /> |
а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения | а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения | ||
Строка 150: | Строка 160: | ||
<math> | <math> | ||
\overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} | \overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} | ||
− | </math><br /> | + | </math><br /> |
===Визуализация=== | ===Визуализация=== | ||
+ | Рассмотрим для системы из 50 частиц и времени <math>\tau = 100</math> три случая: | ||
+ | |||
+ | 1. В начальный момент времени энергия поступательного движения <math> \overline{T_p} = 0</math>, а энергия вращательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_t} = 0.835931 </math> | ||
+ | |||
+ | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: | ||
+ | |||
+ | [[File:МДСПОСТУП НОЛЬ2.png|center]] | ||
+ | |||
+ | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 0.102359 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} =0.315561 </math> | ||
+ | |||
+ | 2. В начальный момент времени энергия вращательного движения <math> \overline{T_t} = 0</math>, а энергия поступательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_p} = 5.82806 </math> | ||
+ | |||
+ | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: | ||
+ | |||
+ | [[File:МДСВРАЩ НОЛЬ2.png|center]] | ||
+ | |||
+ | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 2.18867 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 0.787559 </math> | ||
+ | |||
+ | 3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом <math> \overline{T_p} = 5.06865 </math>, <math> \overline{T_t} = 0.918032</math> | ||
+ | |||
+ | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: | ||
+ | |||
+ | [[File:МДСРАНДОМ2.png|center]] | ||
+ | |||
+ | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 2.05775 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 1.01699 </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Ссылки == | ||
+ | |||
+ | *[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]] | ||
+ | *[[Введение в механику дискретных сред]] |
Версия 14:37, 16 января 2019
Курсовые работы 2018-2019 учебного года > Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободыКурсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Андреева Полина
Группа: 43604/1
Семестр: осень 2018
Содержание
Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.
Вывод уравнений
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое
-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси , и угол поворота относительно вертикальной оси . Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
где момент инерции тела-точки.
Моменты и силы находим по определению:
где
модуль юнга материала балки, момент инерции сечения балки. Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
получаем:
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. Для
ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая и тела:
и на участке, соединяющим
и тела-точки:
где
длина балки.Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения
Обезразмеривание уравнений движения
Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:
гд
положим равными единицам.
Получили обезразмеренные уравнения:
Обезразмеривание энергии
Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:
Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:
Получаем обезразмеренную энергию:
Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения:
Для этого воспользуемся видом частот
и , полученные в предыдущем пункте и получим, чтоОкончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:
Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения
а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения
Визуализация
Рассмотрим для системы из 50 частиц и времени
три случая:1. В начальный момент времени энергия поступательного движения
, а энергия вращательного движения задается случайным образомВ данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна
, а вращательного2. В начальный момент времени энергия вращательного движения
, а энергия поступательного движения задается случайным образомВ данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна
, а вращательного3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом
,В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна
, а вращательного