Редактирование: Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободы''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Андреева Полина]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===

Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.

===Вывод уравнений===

Рассматривается система из N тел-точек. Каждое <math>i</math>-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси <math>y_{i}</math>, и угол поворота относительно вертикальной оси <math>\phi_{i}</math>. 
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. 
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:

<math>
    J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0)
</math><br />
<math>
    m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0),
</math><br />
где <math>J - </math>момент инерции тела-точки.
Моменты и силы находим по определению:

<math>
    M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x)
</math><br />
<math>
    F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x),
</math><br />

где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки.
Вид функции <math>y(x)</math>. найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:

<math>
    E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0 
</math><br />

получаем:

<math>
    y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4
</math><br />
<math>
    \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3
</math><br />

Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1</math> и <math>i</math> тела:

<math>
    y(0) = y_{i-1}   
</math><br />
<math>
 y(l) = y_{i}
</math><br />
<math>
    \phi(0) = \phi_{i-1}   
</math><br />
<math>
\phi(l) = \phi_{i}
 </math><br />

и  на участке, соединяющим <math>i</math> и <math> i+1 </math> тела-точки:

<math>
    y(0) = y_{i} 
</math><br />
<math>
  y(l) = y_{i+1}
</math><br />
<math>
    \phi(0) = \phi_{i}   
</math><br />
<math>
    \phi(l) = \phi_{i+1}
 </math><br />

где <math>l - </math>длина балки.

Учитывая  граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела:
<math>
    \ddot{y_{i}} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
</math><br />
<math>
    \ddot{\phi_{i}} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 </math><br />

===Обезразмеривание уравнений движения===

Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:

<math>
    \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
</math><br />
<math>
    \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 </math><br />
гд

<math>
    \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3}
</math><br />
<math>
    \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl} 
 </math><br /> 
положим равными единицам.

Получили обезразмеренные уравнения:

<math>
   \overline{y_{i}}'' = \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
</math><br />
<math>
    \phi_{i}'' = \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
 </math><br />

===Обезразмеривание энергии===

Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:

<math>
    T = \sum_{i=1}^N \frac{m\dot{y_{i}}^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J\dot{\phi_{i}}^2}{2}
 </math><br />

Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:

<math>
    T = \sum_{i=1}^N \frac{ml^2\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\frac{y_{i}}{l}}{d(t\omega_{1})}\right)^2 + \sum_{i=1}^N \frac{J\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\phi}{d(t\omega_{1})}\right)^2
 </math><br />

Получаем обезразмеренную энергию:

<math>
    \overline{T} = \frac{T}{ml^2\omega_{1}^2} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J}{ml^2}\frac{(\phi')^2}{2}
 </math><br />

Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения: <math> \frac{J}{ml^2}</math>

Для этого воспользуемся видом частот <math>\omega_{1}^2</math> и <math>\omega_{2}^2 </math>, полученные в предыдущем пункте и получим, что <math> \frac{J}{ml^2}= \frac{1}{6}</math>

Окончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:

<math>
    \overline{T} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
 </math><br />
Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения 

<math>
    \overline{T_t} =  \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
 </math><br />

а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения

<math>
    \overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2}
 </math><br />

===Визуализация===
Рассмотрим для системы из 50 частиц и времени <math>\tau = 100</math> три случая:

1. В начальный момент времени энергия поступательного движения <math> \overline{T_p} = 0</math>, а энергия вращательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_t} = 0.835931 </math>

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: 

[[File:МДСПОСТУП НОЛЬ2.png|center]]

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 0.102359 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} =0.315561 </math>

2. В начальный момент времени энергия вращательного движения <math> \overline{T_t} = 0</math>, а энергия поступательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_p} = 5.82806 </math>

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: 

[[File:МДСВРАЩ НОЛЬ2.png|center]]

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 2.18867 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 0.787559 </math>

3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом <math> \overline{T_p} = 5.06865 </math>, <math> \overline{T_t} = 0.918032</math>

В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом: 

[[File:МДСРАНДОМ2.png|center]]

Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 2.05775 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 1.01699 </math>


=== Выводы ===
В ходе данной работы, можно сделать следующие выводы:

1. Энергия перераспределяется таким образом, что средние по всему времени реализации работы энергии вращательного и поступательного движения не равны.

2. При выборе <math> \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2} = 1 </math>:

* в случае, когда начальная энергия вращательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения  равна примерно 3

* в случае, когда начальная энергия поступательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии вращательного движения к энергии поступательного движения  равна примерно 2.7

* в случае, когда начальная энергия и вращательного и поступательного движения задаются случайным образом, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения  равна примерно 2

== Ссылки ==

*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]