| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | [[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Перераспределение энергии между поступательными и вращательными сстепенями свободы''' <HR>
| |
| − |
| |
| − | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
| |
| − |
| |
| − | '''Исполнитель:''' [[Андреева Полина]]
| |
| − |
| |
| − | '''Группа:''' 43604/1
| |
| − |
| |
| − | '''Семестр:''' осень 2018
| |
| − |
| |
| | ===Постановка задачи=== | | ===Постановка задачи=== |
| − |
| |
| − | Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.
| |
| | | | |
| | ===Вывод уравнений=== | | ===Вывод уравнений=== |
| | | | |
| − | Рассматривается система из N тел-точек. Каждое <math>i</math>-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси <math>y_{i}</math>, и угол поворота относительно вертикальной оси <math>\phi_{i}</math>.
| + | ===Численное интегрирование=== |
| − | Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера.
| |
| − | Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0)
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0),
| |
| − | </math><br />
| |
| − | где <math>J - </math>момент инерции тела-точки.
| |
| − | Моменты и силы находим по определению:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x)
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x),
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки.
| |
| − | Вид функции <math>y(x)</math>. найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | получаем:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
| |
| − | Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1</math> и <math>i</math> тела:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | y(0) = y_{i-1}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | y(l) = y_{i}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi(0) = \phi_{i-1}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi(l) = \phi_{i}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | и на участке, соединяющим <math>i</math> и <math> i+1 </math> тела-точки:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | y(0) = y_{i}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | y(l) = y_{i+1}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi(0) = \phi_{i}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi(l) = \phi_{i+1}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | где <math>l - </math>длина балки.
| |
| − | | |
| − | Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела:
| |
| − | <math>
| |
| − | \ddot{y_{i}} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \ddot{\phi_{i}} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | ===Обезразмеривание уравнений движения===
| |
| − | | |
| − | Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | гд
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | положим равными единицам.
| |
| − | | |
| − | Получили обезразмеренные уравнения:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \overline{y_{i}}'' = \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | <math>
| |
| − | \phi_{i}'' = \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | ===Обезразмеривание энергии===
| |
| − | | |
| − | Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | T = \sum_{i=1}^N \frac{m\dot{y_{i}}^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J\dot{\phi_{i}}^2}{2}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | T = \sum_{i=1}^N \frac{ml^2\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\frac{y_{i}}{l}}{d(t\omega_{1})}\right)^2 + \sum_{i=1}^N \frac{J\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\phi}{d(t\omega_{1})}\right)^2
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | Получаем обезразмеренную энергию:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \overline{T} = \frac{T}{ml^2\omega_{1}^2} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J}{ml^2}\frac{(\phi')^2}{2}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения: <math> \frac{J}{ml^2}</math>
| |
| − | | |
| − | Для этого воспользуемся видом частот <math>\omega_{1}^2</math> и <math>\omega_{2}^2 </math>, полученные в предыдущем пункте и получим, что <math> \frac{J}{ml^2}= \frac{1}{6}</math>
| |
| − | | |
| − | Окончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \overline{T} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \overline{T_t} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
| |
| − | </math><br />
| |
| − | | |
| − | а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения
| |
| − | | |
| − | <math>
| |
| − | \overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2}
| |
| − | </math><br />
| |
| | | | |
| | ===Визуализация=== | | ===Визуализация=== |
| − | Рассмотрим для системы из <math>N= 100</math> частиц и времени <math>\tau = 100</math> три случая:
| |
| − |
| |
| − | 1. В начальный момент времени энергия поступательного движения <math> \overline{T_p} = 0</math>, а энергия вращательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_t} = 2.04697 </math>
| |
| − |
| |
| − | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
| |
| − |
| |
| − | [[File:МДСПОСТУП НОЛЬ3.png|center]]
| |
| − |
| |
| − | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 0.248106 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 0.774789 </math>
| |
| − |
| |
| − | 2. В начальный момент времени энергия вращательного движения <math> \overline{T_t} = 0</math>, а энергия поступательного движения задается случайным образом <math> \overline{T_p} = 11.5927 </math>
| |
| − |
| |
| − | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
| |
| − |
| |
| − | [[File:МДСВРАЩ НОЛЬ3.png|center]]
| |
| − |
| |
| − | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 4.39032 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 1.57495 </math>
| |
| − |
| |
| − | 3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом <math> \overline{T_p} = 10.8439 </math>, <math> \overline{T_t} = 1.94736 </math>
| |
| − |
| |
| − | В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
| |
| − | [[File:МДСРАНДОМ3.png|center]]
| |
| − |
| |
| − | Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна <math> \overline{T_p} = 4.39978 </math>, а вращательного <math> - \overline{T_t} = 2.22725 </math>
| |
| − |
| |
| − | === Выводы ===
| |
| − | В ходе данной работы, можно сделать следующие выводы:
| |
| − |
| |
| − | 1. Энергия перераспределяется таким образом, что средние по всему времени реализации работы энергии вращательного и поступательного движения не равны.
| |
| − |
| |
| − | 2. При выборе <math> \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2} = 1 </math>:
| |
| − |
| |
| − | * в случае, когда начальная энергия вращательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения равна примерно 3
| |
| − |
| |
| − | * в случае, когда начальная энергия поступательного движения равна нулю, отношение средней по всей реализации работы энергии вращательного движения к энергии поступательного движения равна примерно 2.7
| |
| − |
| |
| − | * в случае, когда начальная энергия и вращательного и поступательного движения задаются случайным образом, отношение средней по всей реализации работы энергии поступательного движения к энергии вращательного движения равна примерно 2
| |
| − |
| |
| − | == Ссылки ==
| |
| − |
| |
| − | *[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
| |
| − | *[[Введение в механику дискретных сред]]
| |
