Редактирование: Особенности нестационарных тепловых процессов в одномерных гармонических кристаллах
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 24: | Строка 24: | ||
В данной главе будут получены точные аналитические решения этого уравнения, в частности, для начальных тепловых возмущений в форме прямоугольного, треугольного и пилообразного импульса. Такие свойства, как затухание и асимптотика теплового фронта будут исследованы подробно на примере прямо-угольного начального возмущения. Эти результаты могут быть использованы для анализа аномального распространения тепла в более сложных структурах, таких как одномерный гармонический кристалл на упругом основании , двумерный и трехмерный кристаллы . Понимание процессов аномального распространения тепла особенно важно для анализа экспериментальных данных, которые могут быть получены в ближайшем будущем в связи с активным развитием нанотехнологий. | В данной главе будут получены точные аналитические решения этого уравнения, в частности, для начальных тепловых возмущений в форме прямоугольного, треугольного и пилообразного импульса. Такие свойства, как затухание и асимптотика теплового фронта будут исследованы подробно на примере прямо-угольного начального возмущения. Эти результаты могут быть использованы для анализа аномального распространения тепла в более сложных структурах, таких как одномерный гармонический кристалл на упругом основании , двумерный и трехмерный кристаллы . Понимание процессов аномального распространения тепла особенно важно для анализа экспериментальных данных, которые могут быть получены в ближайшем будущем в связи с активным развитием нанотехнологий. | ||
− | Одномерный гармонический кристалл — это простая, но очень эффективная модель для изучения аномальных тепловых эффектов. Следуя работе , рассмотрим бесконечный гармонический кристалл. Каждая частица массой <math>m</math> соединена с соседней частицей линейной пружиной жесткости <math>C</math>. Уравнения движения частиц: <math>\ddot{u}_k = \omega_e^2( u_{k-1} - 2 u_k + u_{k+1}), \quad \omega_e = \sqrt{ \frac{C}{m}},</math> где <math>u_k</math> — отклонение от положения равновесия частицы с индексом <math>k</math>. Рассматриваются следующие начальные условия: <math>\label{eq:particles_initial} | + | Одномерный гармонический кристалл — это простая, но очень эффективная модель для изучения аномальных тепловых эффектов. Следуя работе , рассмотрим бесконечный гармонический кристалл. Каждая частица массой <math>m</math> соединена с соседней частицей линейной пружиной жесткости <math>C</math>. Уравнения движения частиц: <math>\ddot{u}_k = \omega_e^2( u_{k-1} - 2 u_k + u_{k+1}), \quad \omega_e \stackrel{\mathclap{\normalfont\mbox{def}}}{=} \sqrt{ \frac{C}{m}},</math> где <math>u_k</math> — отклонение от положения равновесия частицы с индексом <math>k</math>. Рассматриваются следующие начальные условия: <math>\label{eq:particles_initial} |
u_k|_{t = 0} = 0, \qquad \dot{u}|_{t=0} = \sigma(x) \rho_k,</math> где <math>\rho_k</math> — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; <math>\sigma</math> — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты <math>x = ka</math>, где <math>a</math>—начальное расстояние между соседними частицами. Данные начальные условия можно интерпретировать, как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса . Введем кинетическую температуру <math>T</math>: <math>k_BT = m \langle \dot{u_k} \rangle^2,</math> где <math>\langle ... \rangle</math> оператор усреднения по реализациям, <math>k_B</math> — постоянная Больцмана. В работе было получено континуальное дифференциальное уравнение в частных производных: <math>\label{eq:temperature_equation} | u_k|_{t = 0} = 0, \qquad \dot{u}|_{t=0} = \sigma(x) \rho_k,</math> где <math>\rho_k</math> — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией; <math>\sigma</math> — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты <math>x = ka</math>, где <math>a</math>—начальное расстояние между соседними частицами. Данные начальные условия можно интерпретировать, как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса . Введем кинетическую температуру <math>T</math>: <math>k_BT = m \langle \dot{u_k} \rangle^2,</math> где <math>\langle ... \rangle</math> оператор усреднения по реализациям, <math>k_B</math> — постоянная Больцмана. В работе было получено континуальное дифференциальное уравнение в частных производных: <math>\label{eq:temperature_equation} | ||
\ddot{T} + \frac{1}{t} \dot{T} = c^2 T'',</math> где <math>c</math> скорость звука в одномерном кристалле. Уравнение описывает эволюцию пространственного теплового возмущения во времени. Следующие начальные условия для уравнения соответствуют стохастической начальной задаче : <math>\label{eq:initial} | \ddot{T} + \frac{1}{t} \dot{T} = c^2 T'',</math> где <math>c</math> скорость звука в одномерном кристалле. Уравнение описывает эволюцию пространственного теплового возмущения во времени. Следующие начальные условия для уравнения соответствуют стохастической начальной задаче : <math>\label{eq:initial} |