Определение эффективных упругих характеристик в материале с трещинами — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 16: Строка 16:
  
 
Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
 
Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
−
<math>\rho = \frac{Nl^2}{4A}</math>, где <math>N</math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math>A</math> - площадь рассматриваемой области.   
+
<math>\rho = \frac{Nl^2}{4A} </math>, где <math>N </math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math> A </math> - площадь рассматриваемой области.   
−
Цель данной работы:
+
Цель данной работы
 
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
 
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
 
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
 
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
Строка 25: Строка 25:
 
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
 
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
 
*Проанализировать полученные результаты.
 
*Проанализировать полученные результаты.
−
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho &= [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.
+
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho = [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.
  
 
==Создание начальных конфигураций==
 
==Создание начальных конфигураций==
−
[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
+
{|align="right"
−
[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
+
|-valign="top"
−
[[Файл:Good_conf.bmp|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
+
|[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
 +
|[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
 +
|[[Файл:Good_conf.bmp|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
 +
|}
 
В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.  
 
В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.  
  
 
==Оценка ортотропности==
 
==Оценка ортотропности==
 +
 
[[Файл:S_allComponents.bmp|350px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
 
[[Файл:S_allComponents.bmp|350px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
 +
 +
[[Файл:ErrorParWithPoints.bmp|200px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
 
Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка  
 
Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка  
−
<math>\delta \= \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>
+
<math>\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>
  
 
Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.
 
Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.
−
[[Файл:ErrorParWithPoints.bmp|200px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
+
 
  
 
==Определение углов ортотропии==
 
==Определение углов ортотропии==
Строка 50: Строка 56:
 
Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии  
 
Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии  
 
*Для двух семейств:
 
*Для двух семейств:
−
**Для наклоненных под углом 30^0 - 9.5^0
+
**Для наклоненных под углом <math>30^0</math> - <math>9.5^0</math>
−
**Для наклоненных под углом 15^0 - 5^0
+
**Для наклоненных под углом <math>15^0</math> - <math>5^0</math>
−
**Для наклоненных под углом 40^0 - 18^0
+
**Для наклоненных под углом <math>40^0</math> - <math>18^0</math>
−
*Для трех семейств - 15^0
+
*Для трех семейств - <math>15^0</math>
  
−
[[Файл:Ort_2fam30Alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
+
{|align="right"
−
[[Файл:Ort_3_fam_alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин]]
+
|-valign="top"
 +
|[[Файл:Ort_2fam30Alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
 +
|[[Файл:Ort_3_fam_alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин]]
 +
|}
  
 
Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.
 
Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.
Строка 74: Строка 83:
 
*Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
 
*Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
 
*Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
 
*Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
−
*Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300 – угол поворота 90, наклоненных 150 – 50, наклоненных 400 – 180. Для трех семейств трещин угол поворота – 150.
+
*Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом <math>30^0</math> – угол поворота <math>9^0</math>, наклоненных <math>15^0</math> – <math>5^0</math>, наклоненных <math>40^0</math> – <math>18^0</math>. Для трех семейств трещин угол поворота – <math>15^0</math>.
 
*Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
 
*Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
 
*Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.
 
*Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.
Строка 86: Строка 95:
 
==Литература==
 
==Литература==
  
−
VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.
+
1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.
−
[2]
+
 
−
Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.
+
2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.
−
[3]
+
 
−
M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.
+
3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.
−
[4]
+
 
−
Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.
+
4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.
−
[5]
+
 
−
Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.
+
5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.
−
[6]
+
 
−
Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.
+
6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.
−
[7]
+
 
−
Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.
+
7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.
−
[8]
+
 
−
И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.
+
8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.
−
[9]
+
 
−
И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.
+
9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.
−
[10]
+
 
−
Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.
+
10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.
−
[11]
+
 
−
M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.
+
11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.
−
[12]
+
 
−
Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.
+
12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.
−
[13]
+
 
−
K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.
+
13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.

Текущая версия на 19:59, 15 июня 2017

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: Р. Л. Лапин
Руководитель: доцент кафедры ТМ В. А. Кузькин

Введение[править]

Задачи связанные с учетом трещин в материале исследуются в различных научных областях:

  • Механика твердого тела
  • Геология
  • Механика материалов
  • Нефтедобыча и газодобыча

Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз. Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.

Постановка задачи[править]

Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность [math]\rho = \frac{Nl^2}{4A} [/math], где [math]N [/math] - число трещин, [math]l[/math] - длина трещины, [math] A [/math] - площадь рассматриваемой области. Цель данной работы

  • Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
  • Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
    • Семейство параллельных трещин
    • Два семейства параллельных трещин при различных наклонах
    • Три семейства параллельных трещин
  • Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
  • Проанализировать полученные результаты.

Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей [math]\rho = [0.01;0.8][/math]. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.

Создание начальных конфигураций[править]

Пример конфигурации трещин
Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин
Пример хорошей конфигурации

В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты.

Оценка ортотропности[править]

Отклонения для семейства параллельных трещин
Отклонения для семейства параллельных трещин

Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка [math]\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}[/math]

Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.


Определение углов ортотропии[править]

Углы ортотропии могут отличаться от начальных осей. Для определения углов ортотропии предполагается минимум отклонения тензора податливости от ортотропного. Для поворота тензора подаливости используется тензор поворота, в матричном виде он имеет вид

[math]F = \begin{pmatrix} \cos \alpha^2 & \sin \alpha^2 & \sin 2\alpha \\ \sin \alpha^2 & \cos \alpha^2 & -\sin 2\alpha \\ -\frac{\sin \alpha}{2} & -\frac{\sin \alpha}{2} & \cos 2\alpha \end{pmatrix}[/math]

Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии

  • Для двух семейств:
    • Для наклоненных под углом [math]30^0[/math] - [math]9.5^0[/math]
    • Для наклоненных под углом [math]15^0[/math] - [math]5^0[/math]
    • Для наклоненных под углом [math]40^0[/math] - [math]18^0[/math]
  • Для трех семейств - [math]15^0[/math]
Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов
Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин

Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.

Отклонение от ортотропного тензора для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов
Отклонение от ортотропного тензора для трех семейств трещин


Выводы[править]

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

В работе над данной задаче были получены следующие результаты:

  • Реализован метод разрывных смещений на языке С++ в виде вычислительного модуля для определения эффективных свойств материала с трещинами, позволяющий решать задачи в различных постановках
  • Проведено тестирование метода для задачи об одной трещине под растягивающей внешней нагрузкой. Отклонение полученных результатов от аналитического решения для среднего раскрытия не превышает 3%.
  • Решена задача создания начальных конфигураций. Определено минимальное расстояние между трещинами, позволяющее повысить устойчивость численного метода. Данное расстояние соответствует 0.1 длины трещины.
  • Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
  • Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
  • Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом [math]30^0[/math] – угол поворота [math]9^0[/math], наклоненных [math]15^0[/math] – [math]5^0[/math], наклоненных [math]40^0[/math] – [math]18^0[/math]. Для трех семейств трещин угол поворота – [math]15^0[/math].
  • Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
  • Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.

Материалы работы[править]

Материал, посвященный работе.

Литература[править]

1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.

2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.

3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.

4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.

5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.

6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.

7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.

8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.

9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.

10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.

11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.

12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.

13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Определение_эффективных_упругих_характеристик_в_материале_с_трещинами&oldid=47421»