Определение упругих модулей материала — различия между версиями

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
(Алгоритм компьютерного эксперимента)
(Алгоритм компьютерного эксперимента)
Строка 26: Строка 26:
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
  
  ''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
+
''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
 
соседние с ним атомы.
 
соседние с ним атомы.
 
Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:
 
Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:
Строка 37: Строка 37:
  
 
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
 
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности.\frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер
+
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
 
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь.
+
частицы (<math>\alpha</math>).
  
  

Версия 13:40, 19 января 2018

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.

Рис.1. Исследуемый материал

В данной работе проводится исследование двух упругих модулей - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Компьютерный эксперимент был поставлен на материале, изображенном на Рис.1. При вычислении модулей используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия.

Алгоритм компьютерного эксперимента

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

На первом этапе вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки (оси X). На этом этапе решается динамическая задача достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

[math]\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau[/math]

[math]\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,[/math]

где [math]\tau[/math] – шаг интегрирования. Ускорение [math]\underline{w}(t)[/math] вычисляется через приложенную к частице силу.

Второй этап представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), [/math]

Здесь [math]{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i[/math] – тензор механических напряжений для частицы с номером [math]i[/math]. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений [math]({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)[/math] по всем частицам. [math]V[/math] – объем ячейки периодичности. [math]\underline{A}_{\alpha}^i[/math] – вектор относительного положения соседней частицы: [math]\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i[/math], где [math]\underline{r}_i[/math] – радиус-вектор частицы с номером [math]i[/math], [math]\underline{r}_{\alpha}^i[/math] – радиус-вектор соседней частицы ([math]\alpha[/math]).


Третий этап представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами для их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.

В трехмерном материале коэффициенты упругости определяются через следующие выражения:

[math] \begin{array}{l} \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. \end{array} [/math]


Модули упругости выражаются по формулам:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, где E - модуль Юнга, \nu - коэффициент Пуассона [/math]

При выборе конкретного материалана основе ГЦК с расстоянием между частицами [math]d = 0.33, [/math] упругие модули получились следующими [math]E = 0.926682, \nu = 0.2274 [/math]