Редактирование: Определение упругих модулей материала

== Введение ==

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов. 

[[Файл:Материал для определения упругих модулей.png|thumb|Рис.1. Исследуемый материал]]

В данной работе проводится исследование двух упругих модулей - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Компьютерный эксперимент был поставлен на материале, изображенном на Рис.1. При вычислении модулей используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия.

== Алгоритм компьютерного эксперимента ==

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

''На первом этапе'' вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки (оси X). На этом этапе решается динамическая задача
достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

<math>\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau</math>

<math>\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,</math>

где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
вычисляется через приложенную к частице силу.

''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
соседние с ним атомы.
Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:

<math>
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
</math>

Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
где <math>\underline{r}_i</math>
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
частицы (<math>\alpha</math>).


''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами для их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.

В трехмерном материале коэффициенты упругости
определяются через следующие выражения:

<math>   \begin{array}{l}
    \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
    \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
    \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
    \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
    \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
    \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
   \end{array}
</math>


Модули упругости выражаются по формулам:

<math>
    \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
    E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
где 
 E  - модуль Юнга, 
\nu - коэффициент Пуассона
</math>

При выборе конкретного материалана основе ГЦК с расстоянием между частицами <math>d = 0.33, 
</math> упругие модули получились следующими
<math>E = 0.926682, \nu = 0.2274
</math>