Редактирование: Определение упругих модулей материала

== Введение ==

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов. 

В данной работе рассматриваются два упругих модуля - коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Вычисление модулей упругости материала ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД). 

== Алгоритм компьютерного эксперимента ==

На первом этапе вычисления находится положение равновесия решетки в растянутом состоянии.
При этом задается либо растяжение вдоль двух осей симметрии решетки (рис. 1),
либо сдвиговая деформация вдоль одной из осей. На этом этапе решается динамическая задача
достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

<math>\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau</math>

<math>\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,</math>

где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
вычисляется через приложенную к частице силу.

Для нахождения силы, приложенной к одной частице, рассматриваемая область разбивается
на квадратные ячейки со стороной, не меньшей <math>R + D</math>. Рассматриваются все
частицы, находящиеся в одной ячейке, либо в соседних ячейках к ячейке, где находится
частица, для которой вычисляется приложенная сила.

Колебания атомов гасятся введением коэффициента трения
в уравнения движения. При этом достигается однородное деформированное состояние со
значениями <math>\varepsilon_{11} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_1</math>), и
<math>\varepsilon_{22} = 0.001</math> (при растяжении вдоль оси <math>OX_2</math>). При вычислении ставятся фиксированные граничные условия.

Вычислительный процесс разделим на три основные части. Первая часть представляет собой
вычислительный процесс в целом и включает в себя определение начальных
параметров задачи, которые могут варьироваться, а также определение начальной
конфигурации рассчитываемой системы, т.е. границы рассматриваемой области, положение и
скорости частиц (атомов) кристаллической решетки. Кроме того, вычислительный
процесс в целом подразумевает последовательность шагов интегрирования по времени и
получение результатов вычисления. Вторая часть вычислительного процесса представляет
собой один шаг интегрирования по времени. Результатом этой части
вычислительного процесса является определение наборов соседних атомов для каждого атома
системы с учетом граничных условий, т.е. условий периодичности на границе
рассматриваемой прямоугольной области. Шаг интегрирования по времени состоит из
определения скоростей атомов при учете действующих сил на каждый атом системы, а также
определение приращений перемещений атомов системы. Третья часть вычислительного процесса
представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного
слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на
один атом.

На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:

<math>
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
    \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
</math>

иначе

<math>
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
    \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}
    (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij}
</math>

Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности (в двумерной
постановке – площадь). <math>\underline{F}_{\alpha}^i</math> – векторный коэффициент, равный
<math>\displaystyle 2 \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер
соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
где <math>\underline{r}_i</math>
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь, см. [[Потенциалы Терсоффа, Бреннера|потенциал Терсофа]].


В трехмерном ортотропном материале с кубической симметрией (алмаз) коэффициенты упругости
определяются через следующие выражения:

<math>   \begin{array}{l}
    \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad
    \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\
    \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\
    \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad
    \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad
    \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}.
   \end{array}
</math>

Модули упругости выражаются по формулам:

<math>
    \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
    E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},\quad
    K = \frac{1}{3}(C_{11} + 2 C_{12}).
</math>

Ячейка периодичности кристаллической решетки алмаза представляет собой куб с гранью <math>4
a_d / \sqrt{3}</math>, где <math>a_d</math> – межатомное расстояние кристаллической решетки алмаза в
равновесном состоянии.